Bài 15 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

132 lượt xem

Đề bài

Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc $a = 3t + {t^2}\,\left( {m/{s^2}} \right)$ . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng lí thuyết: $S'\left( t \right) = v\left( t \right),v'\left( t \right) = a\left( t \right)$ hay $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} ,S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi v(t) là vận tốc của vật. ta có : $v'\left( t \right) = a\left( t \right) = 3t + {t^2}$

$v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3t + {t^2}} \right)dt}$ $= 3.\dfrac{{{t^2}}}{2} + \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{{3{t^2}}}{2} + C$

$v\left( 0 \right) = 10$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{0^3}}}{3} + \dfrac{{{{3.0}^2}}}{2} + C = 10 \Leftrightarrow C = 10$

$\Rightarrow v\left( t \right) = \dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{{3{t^2}}}{2} + 10$

Quãng đường vật đi được là:

$S= \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt}$ $= \int\limits_0^{10} {\left( {\dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{{3{t^2}}}{2} + 10} \right)dt}$ $= \left. {\left( {\dfrac{{{t^4}}}{{12}} + \dfrac{{{t^3}}}{2} + 10t} \right)} \right|_0^{10}$

$= \left( {\dfrac{{{{10}^4}}}{{12}} + \dfrac{{{{10}^3}}}{2} + 10.10} \right)$ $- \left( {\dfrac{{{0^4}}}{{12}} + \dfrac{{{0^3}}}{2} + 10.0} \right)$ $= \dfrac{{4300}}{3}$

SGK Toán 12 Nâng cao