Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình
{x=1+aty=1+btz=5+ct trong đó a, b, c thay đổi sao cho c2=a2+b2.
LG a
Chứng minh rằng đường thẳng Δ đi qua một điểm cố định, góc giữa Δ và Oz là không đổi.
Lời giải chi tiết:
Δ đi qua điểm A(1; 1; 5) cố định.
Δ có vectơ chỉ phương →u=(a,b,c).
Gọi φ là góc giữa Δ và trục Oz.
Ta có:
cosφ=|cos(→u,→k)|=|c√a2+b2+c2| =|cc√2|=√22.
Suy ra φ=450.
LG b
Tìm quỹ tích các giao điểm của Δ và mp(Oxy).
Lời giải chi tiết:
Vì c2=a2+b2 nên c≠0 (vì nếu c = 0 thì a = b = 0).
Gọi M(x, y, z) là giao điểm của Δ và mp(Oxy) thì (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình:
{x=1+aty=1+btz=5+ctz=0 ⇔{x−1=aty−1=btt=−5cz=0.
Từ đó suy ra (x−1)2+(y−1)2=(a2+b2).25c2=25 và z = 0.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(1; 1; 0) bán kính bằng 5 và nằm trong mp(Oxy).
