Trong mỗi trường hợp sau, hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng:
LG a
Đi qua ba điểm không thẳng hàng
Phương pháp giải:
Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết:
Cách làm:
- Tính \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)
- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
LG b
Đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp giải:
Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ chỉ phương của (d) làm vectơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết:
Cách làm:
- Tìm một VTCP của (d) cũng chính là VTPT \(\overrightarrow n \) của (P)
- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
LG c
Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
Phương pháp giải:
Mặt phẳng đi qua A và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1,d2 là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2.
Lời giải chi tiết:
Cách làm:
- Tìm VTCP của \({d_1},{d_2}\).
- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)
- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
LG d
Đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước.
Phương pháp giải:
Mặt phẳng đi qua đường thẳng (d1) và song song với (d2 ) là mặt phẳng đi qua M0∈(d1) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến.
Trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2.
Lời giải chi tiết:
Cách làm:
- Tìm một điểm đi qua của (P), chính là \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in {d_1}\) và VTCP của \({d_1},{d_2}\).
- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)
- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
LG e
Đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cho trước.
Phương pháp giải:
Mặt phẳng đi qua A vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước (P) và (Q) là mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến; trong đó \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).
Lời giải chi tiết:
Cách làm:
- Tìm các VTPT của \(\left( P \right),\left( Q \right)\).
- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\)
- Viết pt mặt phẳng theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
LG f
Chứa hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song (d1) và (d2) là mặt phẳng đi qua M1 và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, trong đó M1∈(d1),M2∈(d2),\(\overrightarrow {{u_1}} \) là vectơ chỉ phương của (d1).
=> Cách làm:
- Tìm VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} \) của \({d_1}\) và các điểm đi qua \({M_1} \in {d_1},{M_2} \in {d_2}\)
- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right]\)
- Viết pt mặt phẳng đi qua \({M_1}\) và nhận \(\overrightarrow n \) làm VTPT theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau (d1) và (d2) là mặt đi qua M1∈(d1) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2.
=> Cách làm:
- Tìm các VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) của \({d_1},{d_2}\) và điểm đi qua \({M_1} \in {d_1}\)
- Tính tích có hướng \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)
- Viết pt mặt phẳng đi qua \({M_1}\) và nhận \(\overrightarrow n \) làm VTPT theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
LG g
Đi qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Phương pháp giải:
Mặt phẳng đi qua đường thẳng (d) và vuông góc với mp(P) (d không vuông góc với mp(P)) là mặt phẳng đi qua M0∈(d) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]\) làm vectơ pháp tuyến; trong đó \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của (d), \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) là vectơ pháp tuyến của mp(P).
Lời giải chi tiết:
Cách làm:
- Tìm VTCP \(\overrightarrow u \) của \(d\), VTPT \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) của \(\left( P \right)\) và điểm đi qua \({M_0} \in d\)
- Tính tích có hướng \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]\)
- Viết pt mặt phẳng đi qua \({M_0}\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \) làm VTPT theo công thức \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
