Đề bài
Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′≠0 và B' biểu diễn số phức zz'.
Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai tam giác đồng dạng nếu có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Lời giải chi tiết
Do z không phải là số thực nên các điểm O, A, B theo thứ tự biểu diễn các số 0, 1, z là các đỉnh của một tam giác.
Với z′≠0, xét các điểm A', B' theo thứ tự biểu diễn các số z', zz' thì ta có:
OA′OA=|z′|1=|z′|; OB′OB=|zz′||z|=|z′|, A′B′AB=|zz′−z′||z−1|=|z′|
OA′OA=OB′OB=A′B′AB=|z′|≠0
Vậy tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác OAB (tỉ số đồng dạng bằng |z'|).
Cách khác:
Gọi z=a+bi (ab ≠ 0) z'=a'+b' i(a' b' ≠ 0)
Suy ra zz’ = (aa’ – bb’) (a’b +b’a)i
Ta có:
Do đó:
OA′OA=OB′OB=A′B′AB=|z′|≠0
Vậy tam giác OAB đồng dạng với tam giác OA’B’.
