Đề bài
Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức \(S = A.{e^{rt}}\), trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn? Sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tỉ lệ tăng trưởng
- Thay vào công thức và suy ra sau 10 giờ có bao nhiêu vi khuẩn.
Lời giải chi tiết
Sau 5 giờ, từ công thức S=A.ert ta có:
300 = 100.e5r => 3=e5r
\( \Leftrightarrow 5r = \ln 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5}\)
Sau 10 giờ số lượng vi khuẩn là
\(\begin{array}{l}S = A{e^{rt}} = 100{e^{\frac{{\ln 3}}{5}.10}}\\ \Leftrightarrow S = 100{e^{2\ln 3}} = 100{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2}\\ = {100.3^2} = 100.9 = 900\end{array}\)
Khi số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi tức là có \(100.2 = 200\) con
Ta có:
\(\begin{array}{l}200 = 100{e^{\frac{{\ln 3}}{5}t}}\\ \Leftrightarrow 2 = {e^{\frac{{\ln 3}}{5}t}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\ln 3}}{5}t = \ln 2\\ \Leftrightarrow t = \ln 2:\frac{{\ln 3}}{5}\\ \Leftrightarrow t = \frac{{5\ln 2}}{{\ln 3}}\end{array}\)
\( \approx 3,15\) giờ = 3 giờ 9 phút.
