Đề bài
Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB,BC,CD sao cho AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB . Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D. Tính bán kính mặt cầu đó nếu AB=a,BC=b,CD=c .
Lời giải chi tiết
Vì AB⊥BC và AB⊥CD nên AB⊥(BCD). Suy ra AB⊥BD
Vì CD⊥BC và CD⊥AB nên CD⊥(ABC)⇒CD⊥AC
Gọi I là trung điểm AD, ta có IB=IA=ID=IC nên các điểm A,B,C,D cùng nằm trên mặt cầu đường kính AD.
Mặt khác ta có: AD2=AB2+BD2 =AB2+BC2+CD2 =a2+b2+c2
⇒AD=√a2+b2+c2
Do đó bán kính mặt cầu là R=12AD=12√a2+b2+c2
