Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5).
LG a
Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
→AB=(−3,3,0),→AC=(−3,0,3),→BC=(0,−3,3)⇒AB=√(−3)2+32+02=3√2AC=3√2BC=3√2⇒AB=BC=AC=3√2.
Vậy tam giác ABC đều.
LG b
Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
(ABC) đi qua A và nhận →n=(1;1;1) là 1 vectơ pháp tuyến nên (ABC) có phương trình: (x−4)+(y+1)+(z−2)=0⇔x+y+z−5=0.
Mặt phẳng (ABC) cắt với trục Ox tại điểm A’(5; 0; 0)
Mặt phẳng (ABC) cắt trục Oy tại điểm B’(0; 5; 0)
Mặt phẳng (ABC) cắt trục Oz tại điểm C’(0; 0; 5).
Khi đó khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng tọa độ là tứ diện OA’B’C’ và VOA′B′C′=16OA′.OB′.OC′=16.5.5.5=1256.
LG c
Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Gọi I(a, b, c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có:
{IA=IB⇔IA2=IB2⇔(a−4)2+(b+1)2+(c−2)2=(a−1)2+(b−2)2+(c−2)2IA=IC⇔IA2=IC2⇔(a−4)2+(b+1)2+(c−2)2=(a−1)2+(b+1)2+(c−5)2I∈(ABC)⇒a+b+c−5=0⇔{−8a+16+2b+1=−2a+1−4b+4−8a+16+2b+1−4c+4=−2a+1+2b+1−10c+25a+b+c−5=0⇔{6a−6b=126a−6c=−6a+b+a=5⇔{a−b=2a−c=−1a+b+c=5⇔{a=2b=0c=3⇒I(2,0,3).
Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABC) nên trục đó đi qua I(2; 0; 3) và nhận →n=(1,1,1) là 1 vectơ chỉ phương.
Do đó trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình:
{x=2+ty=tz=3+t(Δ)
LG d
Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.
Lời giải chi tiết:
Để ABCD là tứ diện đều thì D∈(Δ)⇒D(2+t,t,3+t).
Và DA=AB=3√2⇔DA2=18.
⇔(t−2)2+(t+1)2+(t+1)2=18⇔3t2=12⇔[t=2t=−2⇔[D(4,2,5)D(0,−2,1).
Vậy có hai điểm D để ABCD là tứ diện đều là D(4,2,5) hoặc D(0,−2,1).
