Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
LG a
y=x+√x2−1
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=(−∞;−1]∪[1;+∞)
* a=limx→+∞yx = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0
Ta có tiệm cận xiên y = 2x (khi x \to + \infty )
* \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0
Ta có tiệm cận ngang y = 0 (khi x \to - \infty )
LG b
y = \sqrt {{x^2} - 4x + 3}
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)
* a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} = 1
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over {\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} + 1}} = - 2
Ta có tiệm cận xiên y = x -2 (khi x \to + \infty ).
* a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} } \over x} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} = - 1
\eqalign{ & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over { - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - 1}}\cr& = {{ - 4} \over { - 2}} = 2 \cr}
Tiệm cận xiên: y = -x + 2 (khi x \to - \infty ).
LG c
y = \sqrt {{x^2} + 4}
Lời giải chi tiết:
TXD: D =\mathbb R
* a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} = 1
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4} + x}} = 0
Tiệm cận xiên y = x (khi x \to + \infty )
* a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }- \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}} = - 1
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4} - x}} = 0
Tiệm cận xiên y = -x (khi x \to - \infty )
LG d
y = {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}
* Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1
Tiệm cận ngang: y = 1 (khi x \to - \infty và x \to + \infty )
* \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = + \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = - \infty nên x = 1 là tiệm cận đứng.
Tương tự: \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = - \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty nên x = -1 là tiệm cận đứng.
