Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
LG a
y=x2−3x+6x−1
Lời giải chi tiết:
y=x−2+4x−1
TXĐ: D=R∖{1}
lim nên x = 1 là tiệm cận đứng.
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {4 \over {x - 1}} = 0 nên y = x – 2 là tiệm cận xiên.
\eqalign{ & y' = 1 - {4 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr&= {{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1;\,\,\,y\left( { - 1} \right) = -5 \hfill \cr x = 3;\,\,\,y\left( 3 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr}
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) và (1;3)
yCĐ=y(-1)=-5;yCT=y(3)=3
Đồ thị:
+) Đồ thị giao với Oy (0; -6)
+) Đồ thị đi qua A(-3; -6)
Đồ thị nhận giao điểm I(1;-1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
LG b
y = {{2{x^2} - x + 1} \over {1 - x}}
Lời giải chi tiết:
y = {{ - 2{x^2} + x - 1} \over {x - 1}}
y = - 2x - 1 - {2 \over {x - 1}}
TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty nên tiệm cận đứng: x = 1
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - 2x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{2}{{x - 1}}} \right) = 0 nên tiệm cận xiên: y = -2x – 1
\eqalign{ & y' = - 2 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\cr& = {{ - 2{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2{x^2} + 4x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0;\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr x = 2;\,\,\,\,\,\,y\left( 2 \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr}
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)và (1;2)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, 0) và (2; +∞)
yCĐ = y(2) = -7; yCT = y(0) = 1
Điểm đặc biệt:
x = 0 \Rightarrow y = 1
x = -1 \Rightarrow y = 2
Đồ thị:
Đồ thị nhận I(1;-3) làm tâm đối xứng.
LG c
y = {{2{x^2} + 3x - 3} \over {x + 2}}
Lời giải chi tiết:
y = 2x - 1 - {1 \over {x + 2}}
• TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}
• Tiệm cận đứng: x = 2 vì \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = - \infty
Tiệm cận xiên: y = 2x -1 vì \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0
• y' = 2 + {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0 với mọi x \ne - 2 nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞)
• Điểm đặc biệt: x = 0 \Rightarrow y = - {3 \over 2}
Đồ thị nhận I(-2; -5) làm tâm đối xứng.
LG d
y = - x + 2 + {1 \over {x - 1}}
Lời giải chi tiết:
y = - x + 2 + {1 \over {x - 1}}
• TXĐ: D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}
• Tiệm cận đứng: x = 1 vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty
Tiệm cận xiên y = -x +2 vì \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0
• y' = - 1 - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0 với mọi x \ne 1 nên hàm số luôn nghịch biến trên (-∞;1) và 1; +∞)
• Điểm đặc biệt: x = 0 \Rightarrow y = 1
Đồ thị nhận điểm I(1;-1) làm tâm đối xứng.
