Đề bài
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên của hình lăng trụ và cắt chúng tại P, Q, R. Phép tịnh tiến theo vectơ →AA′ biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’.
a) Chứng minh rằng thể tích V của hình lăng trụ đã cho bằng thể tích của hình lăng trụ PQR.P’Q’R’.
b) Chứng minh rằng V=SPQR.AA′, trong đó SPQR là diện tích tam giác PQR.
Lời giải chi tiết
a) Mp(PQR) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành 2 khối đa diện H1 và H2 với H1 chứa ΔABC, H2 chứa ΔA′B′C′
Mp(A’B’C’) chia khối lăng trụ PQR.P’Q’R’ thành hai khối đa diện H2 và H3 với H3 chứa ΔP′Q′R′.
Gọi V1,V2,V3 lần lượt là thể tích của các khối đa diện H1,H2,H3 ta có:
VABC.A′B′C′=V1+V2, VPQR.P′Q′R′=V2+V3.
Phép tịnh tiến →AA′:
T→AA′:ΔABC→ΔA′B′C′T→AA′:ΔPQR→ΔP′Q′R′
Suy ra T→AA′:H1→H3 do đó V1=V3.
Vậy VABC.A′B′C′=VPQR.P′Q′R′.
b) Vì lăng trụ PQR.P’Q’R’ là lăng trụ đứng nên có chiều cao PP’ = AA’ nên
VABC.A′B′C′=VPQR.P′Q′R′ =SPQR.AA′.
