Đề bài
Chứng minh rằng nếu \(z\) là một căn bậc hai của số phức \({\rm{w}}\) thì \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \).
Lời giải chi tiết
Giả sử \(z=x+yi\) và \(\rm{w}=a+bi\)
\(z\) là một căn bậc hai của số phức w thì \({z^2} = {\rm{w}}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = a \hfill \cr
2xy = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {a^2} \hfill \cr
4{x^2}{y^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} \cr} \)
\( \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {\rm{w}} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left| z \right|}^2}} = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)
