Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
LG a
\(f\left( x \right) = x\sin {x \over 2};\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {x\sin {x \over 2}dx} \) \(= - 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx }\)
\(= - 2x\cos \frac{x}{2} + 2.\dfrac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{1}{2}}} + C\)
\(= - 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C \)
LG b
\(f\left( x \right) = {x^2}\cos x;\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {{x^2}} \cos xdx \) \(= {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 2\int {x\sin xdx\,\left( 1 \right)} \)
Tính \(\int {x\sin xdx} \)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \int {x\sin xdx} = - x\cos x + \int {\cos xdx }\) \(= - x\cos x + \sin x+C\)
Thay vào (1) ta được: \(\int {{x^2}\cos xdx}\) \( = {x^2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C \)
LG c
\(f\left( x \right) = x{e^x};\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {x{e^x}dx }= x{e^x} - \int {{e^x}dx} \) \(= x{e^x} - {e^x} + C\)
LG d
\(f\left( x \right) = {x^3}\ln 2x\)
Lời giải chi tiết:
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = \ln 2x \hfill \cr
dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {2 \over 2x}= {1 \over x}dx \hfill \cr
v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {{x^3}\ln 2xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln 2x} - {1 \over 4}\int {{x^3}dx} \) \( = {1 \over 4}x^4\ln 2x - {{{x^4}} \over {16}} + C\)
