Bài 6 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

124 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

$f\left( x \right) = x\sin {x \over 2};$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int {x\sin {x \over 2}dx}$ $= - 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx }$

$= - 2x\cos \frac{x}{2} + 2.\dfrac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{1}{2}}} + C$

$= - 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C$

LG b

$f\left( x \right) = {x^2}\cos x;$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int {{x^2}} \cos xdx$ $= {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 2\int {x\sin xdx\,\left( 1 \right)}$

Tính $\int {x\sin xdx}$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - \cos x \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \int {x\sin xdx} = - x\cos x + \int {\cos xdx }$ $= - x\cos x + \sin x+C$

Thay vào (1) ta được: $\int {{x^2}\cos xdx}$ $= {x^2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$

LG c

$f\left( x \right) = x{e^x};$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int {x{e^x}dx }= x{e^x} - \int {{e^x}dx}$ $= x{e^x} - {e^x} + C$

LG d

$f\left( x \right) = {x^3}\ln 2x$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = \ln 2x \hfill \cr dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {2 \over 2x}= {1 \over x}dx \hfill \cr v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int {{x^3}\ln 2xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln 2x} - {1 \over 4}\int {{x^3}dx}$ $= {1 \over 4}x^4\ln 2x - {{{x^4}} \over {16}} + C$

SGK Toán 12 Nâng cao