Cho khối chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SA\) bằng \(a\), đáy là tam giác vuông cân có \(AB = BC = a\). Gọi \(B'\) là trung điểm của \(SB, C'\) là chân đường cao hạ từ \(A\) của tam giác \(SAC\).
LG a
Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Lời giải chi tiết:
Tam giác ABC vuông cân tại B nên \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA = {1 \over 3}.\frac{{{a^2}}}{2} .a = {{{a^3}} \over 6}\)
LG b
Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mp \((AB'C')\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(BC \bot BA\) và \(BC \bot SA\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)
Mà \(AB' \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(AB' \bot BC\)
Ta có \(AB' \bot SB\) và \(AB' \bot BC\) nên \(AB' \bot \left( {SBC} \right)\)
Suy ra \(AB' \bot SC\).
Theo giả thiết \(SC \bot AC'\), \(SC \bot AB'\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow SC \bot \left( {AB'C'} \right)\)
LG c
Tính thể tích khối chóp \(S.AB’C’\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(AC’\) là đường cao trong tam giác vuông \(SAC\) nên \({{SC'} \over {SC}} = {{SC'.SC} \over {S{C^2}}} = {{S{A^2}} \over {S{C^2}}} = {{{a^2}} \over {3{a^2}}} = {1 \over 3}\)
Từ đó suy ra \({{{V_{S.AB'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA} \over {SA}}.{{SB'} \over {SB}}.{{SC'} \over {SC}} = {1 \over 2}.{1 \over 3} = {1 \over 6}\)
Vì \({V_{S.ABC}} = {{{a^3}} \over 6}\) nên \({V_{S.AB'C'}} = {{{a^3}} \over {36}}\).
Cách khác:
Vì SC'⊥AB'C' nên:
(trung tuyến trong tam giác vuông)
Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được:
Nhận xét:
Ta có: AB'⊥(SBC) nên có thể lấy V = (1/3)AB'.SΔSB'C'=(1/6). AB'.B' C'.SC' rồi tính toán.
