LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \(y = {{x - 2} \over {2x + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = - {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {1 \over 2}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
\(y' = {{1.1-2.(-2)} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne - {1 \over 2}\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;-2)\) và cắt trục hoành tại điểm \((2;0)\).
LG b
Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải chi tiết:
Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \(I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)
Công thức đổi trục tọa độ theo vecto \(\overrightarrow {OI} \) là:
\(\left\{ \matrix{
x = X - {1 \over 2} \hfill \cr
y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của đồ thị \((C)\) đối với trục \(IXY\):
\(Y + {1 \over 2} = {{X - {1 \over 2} - 2} \over {2\left( {X - {1 \over 2}} \right) + 1}} \) \(\Leftrightarrow Y + {1 \over 2} = {{X - {5 \over 2}} \over {2X}} = \frac{1}{2} - \frac{5}{{4X}} \) \(\Leftrightarrow Y = - {5 \over {4X}}\)
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.
