Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

114 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

$f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^5;$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = {{{x^3}} \over {18}} - 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx$ $\Rightarrow {x^2}dx = 6du$

Do đó $\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)}^5}dx}$ $= \int {6{u^5}du }$ $= {u^6} + C$ $= {\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^6} + C$

LG b

$f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};$

Lời giải chi tiết:

Đăt $u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx$ $\Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx = - du$

$\Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx }$ $= - \int {udu }$ $= - {{{u^2}} \over 2} + C$ $= - {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C$

LG c

$f\left( x \right) = {x^3}{e^x};$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^3} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 3{x^2}dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} }$

Tính ${I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)}$

Tính ${I_2} = \int {x{e^x}dx}$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \int {{e^x}dx }$ $=xe^x-e^x+C_2$ $= {e^x}\left( {x - 1} \right) + C_2$

Thay ${I_2}$ vào (2) ta được: ${I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}\left( {x - 1} \right) +C_1$ $= {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C_1$

Thay ${I_1}$ vào (1) ta được : $I = {x^3}{e^x} - 3{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)+C$ $= {e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right) + C$

LG d

$f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x - 9} }}.$

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = \sqrt {3x - 9}$ $\Rightarrow {t^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2tdt = 3dx$ $\Rightarrow dx = \dfrac{2}{3}tdt$

$I = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{2}{3}t{e^t}dt}$ $= \dfrac{2}{3}\int {t{e^t}dt}$ (1)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = t\\{e^t}dt = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = {e^t}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \int {t{e^t}dt} = t{e^t} - \int {{e^t}dt}$ $= t{e^t} - {e^t} + {C_1} = \left( {t - 1} \right){e^t} + {C_1}$

Thay vào (1) ta được $I = \dfrac{2}{3}\left( {t - 1} \right){e^t} + C$ $= \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt {3x - 9} - 1} \right){e^{\sqrt {3x - 9} }} + C$

SGK Toán 12 Nâng cao