Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng Δ có phương trình x−12=y+1−1=z3.
LG a
Viết phương trình hình chiếu của Δ trên các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng Δ có phương trình tham số là:
{x=1+2ty=−1−tz=3t
Vì điểm M(x, y, z) có hình chiếu trên (Oxy) là M’(x, y, 0) nên hình chiếu d1 của Δ trên (Oxy) có phương trình tham số là
{x=1+2ty=−1+tz=0
Hình chiếu d2 của Δ trên (Oyz) là
{x=0y=−1−tz=3t.
Hình chiếu d3 của Δ trên (Oxz) là
{x=1+2ty=0z=3t.
LG b
Chứng minh rằng mặt phẳng x+5y+z+4=0 đi qua đường thẳng Δ.
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm M(1+2t,−1−t,3t)∈Δ, thay tọa độ của M vào phương trình mp(α) ta có:
1+2t−5(1+t)+3t+4=0⇒M∈(α).
Vậy Δ⊂(α), tức mp(α) đi qua Δ.
LG c
Tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và các trục tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Δ qua điểm M(1;−1;0) và có vectơ chỉ phương →u=(2;−1;3).
Đường thẳng chứa trục Ox qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương →i(1;0;0).
Khoảng cách giữa Δ và trục Ox là:
h1=|[→u,→i].→OM||[→u,→i]|=|−3|√32+12=3√1010.
Khoảng cách giữa Δ và trục Oy là:
h2=|[→u,→j].→OM||[→u,→j]|=|−3|√(−3)2+22=3√1313.
Khoảng cách giữa Δ và trục Oz là:
h3=|[→u,→k].→OM||[→u,→k]|=|1|√12+22=√55.
LG d
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng Δ và Δ′:x=y=z.
Lời giải chi tiết:
Lấy P(1+2t,−1−t,3t)∈Δ,Δ có vectơ chỉ phương →u=(2;−1;3).
Q(t′,t′,t′)∈Δ′,Δ′ có vectơ chỉ phương →u′(1;1;1).
Ta có →QP=(1+2t−t′,−1−t−t′,3t−t′).
PQ là đường vuông góc chung của Δ và Δ′ khi và chỉ khi →PQ⊥→u và →PQ⊥→u′, tức là:
{→QP.→u=0→QP.→u′=0⇔{2(1+2t−t′)−(−1−t−t′)+3(3t−t′)=01+2t−t′−1−t−t′+3t−t′=0⇔{14t−4t′=−34t−3t′=0⇔{t=−926t′=−613.
Do đó Q(−613;−613;−613) và →QP=(2016,−516,−1516)=516(4;−1;−3).
Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương →v=(4;−1;−3).
Do đó PQ có phương trình tham số là:
{x=−613+4ty=−613−tz=−613−3t.
LG e
Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả Δ và ’Δ′.
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm P(1+2t,−1−t,3t)∈Δ.
Q(t′,t′,t′)∈Δ′.
PQ // Oz ⇔→QP cùng phương với
→k=(0;0;1)⇔{1+2t−t′=0−1−t−t′=0 ⇔{t=−23t′=−13.
Vậy PQ đi qua Q(−13,−13,−13) và có vectơ chỉ phương →k=(0;0;1) nên PQ có phương trình tham số là:
{x=−13y=−13z=−13+t.
