Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho để được khẳng đinh đúng.
Câu 80
Hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} - 6x + {3 \over 4}\)
(A) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\)
(B) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\)
(C) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
(D) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)
Lời giải chi tiết:
\(f'\left( x \right) = {x^2} - x - 6\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)
Từ bbt ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\).
Chọn (B).
Câu 81
Hàm số \(f\left( x \right) = 6{x^5} - 15{x^4} + 10{x^3} - 22\)
(A) Nghịch biến trên R;
(B) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);
(C) Đồng biến trên khoảng R;
(D) Nghịch biến trên khoảng (0;1).
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = 30{x^4} - 60{x^3} + 30{x^2}\cr& = 30{x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 30{x^2}{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \cr
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đồng biến trên R.
Chọn C.
Câu 82
Hàm số \(y = \sin x - x\)
(A) Đồng biến trên R.
(B) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)
(C) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
(D) Nghịch biến trên R.
Lời giải chi tiết:
\(y' = \cos x - 1 \le 0\,\,\,\,\,\forall x \in R\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2k\pi \)
Hàm số nghịch biến trên R.
Chọn D.
Câu 83
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 11\)
(A) Nhận điểm x = -1 làm điểm cực tiểu;
(B) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại;
(C) Nhận điểm x = 1 làm điểm cực đại;
(D) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9 \cr
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3.
Chọn D.
Câu 84
Hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} - 5\)
(A) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu.
(B) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực đại
(C) Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại
(D) Nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 12{x^2} = 4{x^2}\left( {x - 3} \right) \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3.
Chọn A.
Câu 85
Số điểm cực trị của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) là
(A) 0; (B) 1;
(C) 3; (D) 2.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right) \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt và \(y'\) đổi dấu qua 3 nghiệm đó.
Hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn C.
Câu 86
Số điểm cực trị của hàm số \(y = {{{x^2} - 3x + 6} \over {x - 1}}\) là
(A) 0; (B) 2; (C) 1; (D) 3.
Lời giải chi tiết:
\(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} = x - 2 + \frac{4}{{x - 1}}\)
\(y' = 1 - {4 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \(y'\) đổi dấu qua 2 nghiệm đó.
Hàm số có 2 cực trị.
Chọn B.
Câu 87
Hàm số f có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {2x - 1} \right)\). Số điểm cực trị của hàm số là
(A) 1; (B) 2;
(C) 0; (D) 3.
Lời giải chi tiết:
Vì \({x^2}{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in R\) nên f’(x) chỉ đổi dấu khi x qua \({1 \over 2}\)
Hàm số có 1 điểm cực trị.
Chọn A.
Cách giải thích khác:
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Qua điểm x = 0; x= -1 thì f’(x) không đổi dấu nên hai điểm này không là cực trị của hàm số.
Qua điểm x = 1/2 thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1/2.
Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 88
Hàm số \(y = x - \sin 2x + 3\)
(A) Nhận điểm \(x = - {\pi \over 6}\) làm điểm cực tiểu.
(B) Nhận điểm \(x = {\pi \over 2}\) làm điểm cực đại.
(C) Nhận điểm \(x = - {\pi \over 6}\) làm điểm cực đại.
(D) Nhận điểm \(x = - {\pi \over 2}\) làm điểm cực tiểu.
Lời giải chi tiết:
\(y' = 1 - 2\cos 2x;\,\,\,y'' = 4\sin 2x\)
Ta có: \(y'\left( { - {\pi \over 6}} \right) = 0\,\,\,\text{và }\,\,y''\left( { - {\pi \over 6}} \right) < 0\)
Hàm số nhận điểm \(x = - {\pi \over 6}\) làm điểm cực đại.
Ngoài ra tại các điểm \( \pm \frac{\pi }{2}\) thì \(y'\left( { \pm \frac{\pi }{2}} \right) \ne 0\) nên không là điểm cực trị.
Cách khác:
f' (x)=1-2cos2x,f' (-π/6)=0 và đổi dấu từ dương sang âm tại điểm x=-π/6.
Chọn C.
Câu 89
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 3\sqrt {1 - x} \) là:
(A) -3; (B) 1
(C) -1 (D) 0
Lời giải chi tiết:
\(\sqrt {1 - x} \ge 0 \Rightarrow - 3\sqrt {1 - x} \le 0 \)
\(\Rightarrow y \le 0,\,\,\forall x \le 1\) và y(1) = 0
Nên \(\mathop {\max }\limits_{x \le 1} y = 0\)
Chọn D
Câu 90
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x - 4\cos x\) là:
(A) 3; (B) -5; (C) -4; (D) -3.
Phương pháp giải:
Ta có: \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}y = 3\sin x - 4\cos x\\ \Rightarrow - \sqrt {{3^2} + {4^2}} \le y \le \sqrt {{3^2} + {4^2}} \\ \Rightarrow - 5 \le y \le 5\\ \Rightarrow \min y = - 5\end{array}\)
Cách 2:
Ta có:
Chọn (B)
Câu 91
Giá trị lớn nhất của hàm số
\(f\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) là:
(A) 6; (B) 10;
(C) 15; (D) 11.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x - 12 \cr
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \cr
x = - 2 \notin \left[ { - 1;2} \right] \hfill \cr} \right. \cr
& f\left( { - 1} \right) = 15;\,f\left( 1 \right) = - 5;\,f\left( 2 \right) = 6 \cr} \)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 15\)
Chọn C.
Câu 92
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \) là:
(A) 2; (B) \(\sqrt 2 \)
(C) 0; (D) 3.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \left[ { - 3;1} \right]\)
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = {{ - 2x - 2} \over {2\sqrt { - {x^2} - 2x + 3} }} \cr&= - {{x + 1} \over {\sqrt { - {x^2} - 2x + 3} }} \cr
& f'\left( 0 \right) \Leftrightarrow x = - 1\cr&f\left( { - 1} \right) = 2,f\left( { - 3} \right) = f\left( 1 \right) = 0 \cr} \)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]} f\left( x \right) = 2\).
Chọn (A).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
y = \sqrt { - {x^2} - 2x + 3} \\
= \sqrt { - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 4} \\
= \sqrt {4 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \\
\le \sqrt {4 - 0} = 2\\
\Rightarrow y \le 2
\end{array}\)
Câu 93
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = {{2{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}}\)
(A) Đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của (C).
(B) Đường thẳng x = 2x - 1 là tiệm cận đứng của (C).
(C) Đường thẳng x = x + 1 là tiệm cận đứng của (C).
(D) Đường thẳng x = x - 2 là tiệm cận đứng của (C).
Lời giải chi tiết:
TCĐ: \(x = - \frac{1}{2}\)
Lại có: \(y = x - 2 + {6 \over {2x + 1}}\)
Tiệm cận xiên : y = x- 2.
Chọn (D).
Câu 94
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = {{{x^2} + 3} \over {3 + 5x - 2{x^2}}}\)
(A) Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
(B) Đường thẳng \(x = - {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
(C) Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).
(D) Đường thẳng x = -x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị (C).
Lời giải chi tiết:
\(3 + 5x - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {1 \over 2} \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)
Ta thấy \(x = - \frac{1}{2}\) và \(x = 3\) không là nghiệm của tử nên các đường thẳng \(x = - \frac{1}{2}\) và \(x = 3\) đều là TCĐ của đồ thị hàm số.
Chọn (B).
Câu 95
Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = {{{x^2} + x + 2} \over { - 5{x^2} - 2x + 3}}\)
(A) Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của (C).
(B) Đường thẳng y = x -1 là tiệm cận xiên của (C).
(C) Đường thẳng \(y = - {1 \over 5}\) là tiệm cận ngang của (C).
(D) Đường thẳng \(y = - {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của (C).
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = -{1 \over 5}\) .
Tiệm cận ngang \(y = - {1 \over 5}\).
Chọn (C).
Câu 96
Đồ thị của hàm số \(y = x + {1 \over {x - 1}}\)
(A) cắt đường thẳng y = 1 tại hai điểm;
(B) cắt đường thẳng y = 4 tại hai điểm;
(C) Tiếp xúc với đường thẳng y = 0.
(D) Không cắt đường thẳng y = -2.
Lời giải chi tiết:
\(x + {1 \over {x - 1}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 4x - 4 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 5 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)
(1) có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị cắt đường thẳng y=4 tại hai điểm phân biệt.
Chọn (B).
Câu 97
Xét phương trình \({x^3} + 3{x^2} = m\)
(A) Với m =5, phương trình đã có ba nghiệm;
(B) Với m = -1, phương trình có hai nghiệm.
(C) Với m =4, phương trình đã có ba nghiệm phân biệt;
(D) Với m =2, phương trình đã có ba nghiệm phân biệt
Lời giải chi tiết:
Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\)
\(\eqalign{
& \,\,\,\,y' = 3{x^2} + 6x;\,y' = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2;\,\,y\left( { - 2} \right) = 4 \hfill \cr
x = 0;\,\,\,y\left( 0 \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
m =2: Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Chọn (D).
Câu 98
Đồ thị hàm số \(y = {{x - 2} \over {2x + 1}}\)
(A) Nhận điểm \(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) làm tâm đối xứng.
(B) Nhận điểm \(\left( { - {1 \over 2};2} \right)\) làm tâm đối xứng.
(C) Không có tâm đối xứng.
(D) Nhận điểm \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) làm tâm đối xứng.
Lời giải chi tiết:
Tiệm cận đứng: \(x = - {1 \over 2}\); Tiệm cận ngang: \(y = {1 \over 2}\)
Giao điểm hai tiệm cận \(I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Chọn (A).
Câu 99
Số giao điểm của hai đường cong \(y = {x^3} - {x^2} - 2x + 3\) và \(y = {x^2} - x + 1\) là:
(A) 0; (B) 1; (C) 3; (D) 2.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm phương trình:
\(\eqalign{
& \,\,\,\,{x^3} - {x^2} - 2x + 3 = {x^2} - x + 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - x + 2 = 0\cr& \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Chọn (C)
Câu 100
Các đồ thị của hai hàm số \(y = 3 - {1 \over x}\) và \(y = 4{x^2}\) tiếp xúc với nhau tại điểm M có hoành độ là:
(A) x = -1; (B) x = 1; (C) x =2; (D) \(x = {1 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(f\left( x \right) = 3 - \frac{1}{x} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(g\left( x \right) = 4{x^2} \Rightarrow g'\left( x \right) = 8x\)
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\)
\( \Leftrightarrow \) hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3 - \frac{1}{x} = 4{x^2}\\\frac{1}{{{x^2}}} = 8x\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\frac{1}{{{x^2}}} = 8x \Leftrightarrow 1 = 8{x^3}\) \( \Leftrightarrow {x^3} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)
Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào phương trình đầu ta được:
\(3 - \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 1 = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) nên hệ trên có nghiệm \(x = \frac{1}{2}\)
Chọn (D).
