Đề bài
Cho hàm số f liên tục trên [a;b]. Tỉ số : 1b−ab∫af(x)dx được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên [a;b] và được kí hiệu là m(f). Chứng minh rằng tồn tại điểm c∈[a;b] sao cho m(f)=f(c)
Lời giải chi tiết
Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên [a;b].
Ta có m≤f(x)≤M∀x∈[a;b]
Theo kết quả: f(x)≥g(x) trên đoạn [a;b] thì b∫af(x)dx≥b∫ag(x)dx
Ta có:
b∫amdx≤b∫af(x)dx≤b∫aMdx⇒m(b−a)≤b∫af(x)dx≤M(b−a)⇒m≤1b−ab∫af(x)dx≤M
Vì f là hàm liên tục nên tồn tại c∈[a;b] để m≤f(c)≤M hay f(c)=1b−ab∫af(x)dx.
Cách khác:
Ta có: m(f)=1b−ab∫af(x)dx
Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x)
=> F’(x) = f(x) =>F(x) liên tục trên [a; b] có đạo hàm trên (a; b) và thỏa mãn:
b∫af(x)dx=F(b)−F(a)
⇒m(f)=1b−a.(F(b)−F(a)) =F(b)−F(a)b−a
Theo định lý Lagrăng thì ∃c ∈(a;b) sao cho
F(b)−F(a)b−a=F′(c)
Vì F' (c)=f(c) => ∃c ∈(a;b) để m(f) = f(c) (đpcm)
