Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 3.} \) Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\) trong các trường hợp sau:
LG a
f là hàm số lẻ;
Phương pháp giải:
f là hàm số lẻ thì \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\).
Đặt \(x = - u \Rightarrow dx = - du\).
Đổi cận \(x = - 1 \Rightarrow u = 1,x = 0 \Rightarrow u = 0\)
\(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^0 {f\left( { - u} \right)\left( { - du} \right)} \)\( = \int\limits_0^1 {f\left( { - u} \right)du} = \int\limits_0^1 {\left[ { - f\left( u \right)} \right]du} \)
(do f là hàm số lẻ nên f(-u)=-f(u))
\( = - \int\limits_0^1 {f\left( u \right)du} = - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx }= - 3. \)
LG b
f là hàm số chẵn.
Phương pháp giải:
f là hàm số chẵn thì \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Lời giải chi tiết:
Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\)
Đặt \(x = - u \Rightarrow dx = - du\).
Đổi cận \(x = - 1 \Rightarrow u = 1,x = 0 \Rightarrow u = 0\).
\(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_{ 1}^0 {f\left( { - u} \right)\left( { - du} \right) }\)
\( = \int\limits_0^1 {f\left( { - u} \right)du} = \int\limits_0^1 { { f\left( u \right)} du} \) \( =\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx }= 3. \)
(do f là hàm số chẵn nên f(-u)=f(u))
