Chứng minh các bất đẳng thức sau:
LG a
sinx<x với mọi x>0,sinx>x với mọi x<0
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số f(x)=x−sinx liên tục trên nửa khoảng [0;π2)
Đạo hàm f′(x)=1−cosx>0 với mọi x∈(0;π2).
Do đó hàm số đồng biến trên [0;π2)
Từ đó với mọi x∈(0;π2) ta có:
f(x)>f(0)=0
⇒x−sinx>0∀x∈(0;π2).
⇔x>sinx,∀x∈(0;π2)
Với x≥π2 thì x>1≥sinx.
Vậy sinx<x với mọi x>0
Xét hàm số f(x) = x – sin x trên (−π2;0]
Đạo hàm f’(x) = 1 - cos x > 0 ∀x∈(−π2;0)
Do đó hàm số đồng biến trên (−π2;0]
⇒ f(x) < f(0) hay x- sin x < 0
⇔x<sinx,∀x∈(−π2;0]
+ Hiển nhiên: x < sin x với mọi x≤−π2
(vì x≤−π2<−1≤sinx)
Do đó x < sin x với mọi x < 0.
Cách giải thích khác:
* Với mọi x<0, áp dụng chứng minh ở trường hợp x > 0 ta có:
sin(−x)<−x (do x < 0 thì -x > 0)
⇒−sinx<−x⇒sinx>x
Vậy sinx>x với mọi x<0.
LG b
cosx>1−x22 với mọi x≠0
Lời giải chi tiết:
Hàm số g(x)=cosx+x22−1 liên tục trên [0;+∞) và có đạo hàm g′(x)=x−sinx
Theo câu a) g′(x)>0 với mọi x>0 nên hàm số g đồng biến trên [0;+∞), khi đó ta có
g(x)>g(0)=0 với mọi x>0, tức là cosx+x22−1>0 với mọi x>0
hay cosx>1−x22 với mọi x>0 (1)
Với mọi x < 0 thì -x > 0 nên theo (1) ta có:
cos(−x)>1−(−x)22
⇔cosx>1−x22 với mọi x<0
Vậy cosx>1−x22 với mọi x≠0.
Cách khác:
g’(x) = x – sin x
g'(x)=0 ⇔ x- sin x = 0
⇔ x = 0
Theo câu a ta có bảng biến thiên:
Từ bbt ta thấy g(x)>0,∀x≠0 ⇔cosx>1−x22,∀x≠0
LG c
sinx>x−x36 với mọi x>0; sinx<x−x36 với mọi x<0.
Lời giải chi tiết:
Hàm số h(x)=sinx−x+x36 có đạo hàm h′(x)=cosx−1+x22>0 với mọi x≠0 (câu b)
Do đó h đồng biến trên R nên ta có:
h(x)>h(0)=0,∀x>0 và h(x)<h(0)=0,∀x<0
Từ đó suy ra: sinx>x−x36 với mọi x>0
sinx<x−x36với mọi x<0
