Bài 22 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

111 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Chứng minh rằng:

LG a

$\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx.}$

Phương pháp giải:

Đổi biến u=1-x

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = 1 - x \Rightarrow du = - dx$

$\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^0 {f\left( {1 - u} \right)} \left( { - du} \right)$ $= \int\limits_0^1 {f\left( {1 - u} \right)} du = \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)} dx$

(Do $\int\limits_a^b {f\left( u \right)du} = \int\limits_a^b {f\left( v \right)dv}$ )

LG b

$\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]} dx.$

Lời giải chi tiết:

$\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{-1}^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx$ với $\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx$

Đặt $u = - x \Rightarrow du = - dx$ .

Đổi cận $x = - 1 \Rightarrow u = 1,x = 0 \Rightarrow u = 0$

Khi đó $\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx = \int\limits_1^0 {f\left( { - u} \right)} } \left( { - du} \right)$ $= \int\limits_0^1 {f\left( { - u} \right)} du = \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)} dx$

Do đó $\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$ $= \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx}$

SGK Toán 12 Nâng cao