Cho hai đường thẳng
d1:{x=8+ty=5+2tz=8−t và d2:3−x7=y−12=z−13.
LG a
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
Phương pháp giải:
Kiểm tra tích [→u1;→u2].→M2M1≠0
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d1 đi qua M1(8;5;8) có vectơ chỉ phương →u1(1;2;−1).
Đường thẳng d2 đi qua M2(3;1;1) có vectơ chỉ phương →u2(−7;2;3).
Ta có: →M2M1=(5;4;7);[→u1;→u2]=(8;4;16).
Do đó [→u1;→u2].→M2M1=168≠0.
Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d1 và d2.
Lời giải chi tiết:
Gọi (α) là mặt phẳng qua O song song với cả d1 và d2.
Mp(α) có vectơ pháp tuyến là →n=14[→u1;→u2]=(2;1;4).
Vậy (α):2(x−0)+1(y−0)+4(z−0)=0 ⇔2x+y+4z=0.
Rõ ràng M1,M2∉(α).
Vậy (α) chính là mặt phẳng cần tìm.
LG c
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d=|[→u1,→u2].→M2M1||[→u1,→u2]|
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là:
d=|[→u1,→u2].→M2M1||[→u1,→u2]| =168√82+42+162=2√21
LG d
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Giả sử PQ là đường vuông góc chung của d1 và d2 với P∈d1;Q∈d2. Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: P(8+t;5+2t;8−t),Q(3−7t′;1+2t′;1+3t′).
Ta có: →PQ=(−5−7t′−t;−4+2t′−2t;−7+3t′+t).
Vectơ →PQ đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương →u1 và →u2 nên
{→PQ.→u1=0→PQ.→u2=0⇔{−5−7t′−t+2(−4+2t′−2t)−(−7+3t′+t)=0−7(−5−7t′−t)+2(−4+2t′−2t)+3(−7+3t′+t)=0⇔{−6t′−6t=662t′+6t=−6⇔{t′=0t=−1
Vậy P(7;3;9),Q(3;1;1) và do đó, đường vuông góc chung của d1 và d2 có phương trình:
x−37−3=y−13−1=z−19−1 ⇔x−32=y−11=z−14
