Đề bài
Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.
Lời giải chi tiết
* Phép tịnh tiến
Giả sử T→v là phép tịnh tiến theo vectơ →v
T→v:M→M′N→N′
Ta có →MM′=→NN′=→v nên MM'N'N là hình bình hành
⇒→MN=→M′N′⇒MN=M′N′
Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.
* Phép đối xứng trục
Giả sử ˜Nd là phép đối xứng qua đường thẳng d
Giả sử
˜Nd:M→M′
N→N′
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM′ và NN′.
Ta có:
→MN+→M′N′=(→MH+→HK+→KN)+(→M′H+→HK+→KN′)=(→MH+→M′H)+(→KN+→KN′)+(→HK+→HK)=→0+→0+2→HK=2→HK→MN−→M′N′=(→HN−→HM)−(→HN′−→HM′)=(→HN−→HN′)+(→HM′−→HM)=→N′N+→MM′
Vì →MM′⊥→HK và →N′N⊥→HK nên
→MN2−→M′N′2=(→MN+→M′N′)(→MN−→M′N′)=2→HK(→N′N+→MM′)=2→HK.→N′N+2→HK.→MM′=2.0+2.0=0⇒MN2=M′N′2⇒MN=M′N′
Vậy phép đối xứng qua d là phép dời hình.
Cách khác:
Giả sử phép đối xứng qua đường thẳng d biến M thành M’, N thành N’
Gọi (P) là mặt phẳng chứa NM’ và (P) // MM’
M1,M1′ lần lượt là hình chiếu của M, M’ trên (P); O = ∩(P).
Ta có d ⊥ (P) nên O đồng thời là trung điểm của M1M1′ và NN'.
Vậy phép đối xứng tâm O biến M1 thành M′1, N thành N’ nên M1,M1′ nên M1N=M′1N′.
Mặt khác M1N,M′1N′ lần lượt là hình chiếu của MN, M’N’ trên (P), MM’ // (P) nên MN = M’N’.
Vậy phép đối xứng qua đường thẳng là phép dời hình.
* Phép đối xứng tâm
Nếu phép đối xứng qua tâm O biến hai điểm M,N lần lượt thành hai điểm M′,N′ thì →OM′=−→OM;→ON′=−→ON
suy ra →M′N′=→ON′−→OM′ =−→ON+→OM=→NM ⇒M′N′=MN
Vậy phép đối xứng tâm O là một phép dời hình.
