Cho hàm số y=ax2−bxx−1
LG a
Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm A(−1;52) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số bằng −3.
Lời giải chi tiết:
y′=(2ax−b)(x−1)−(ax2−bx)(x−1)2 =ax2−2ax+b(x−1)2
Đồ thị (C) đi qua A(−1;52) ⇔y(−1)=52⇔a+b−2=52 ⇔a+b=−5(1)
Tiếp tuyến của (C) tại O(0;0) có hệ số góc bằng −3 khi và chỉ khi y′(0)=−3 ⇔a.02−2a.0+b(0−1)2=−3 ⇔b=−3(2)
Từ (1) và (2) suy ra a=−2;b=−3.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.
Lời giải chi tiết:
Với a=−2;b=−3 ta có: y=−2x3+3xx−1
Tập xác định: D=R∖{1}
y′=−2x2+4x−3(x−1)2<0∀x∈D
Hàm số nghịch biến trên khoảng: (−∞;1) và (1;+∞)
Hàm số không có cực trị
Giới hạn:
lim
Tiệm cận đứng là: x=1
\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{ - 2{x^2} + 3x} \over {{x^2} - x}} = - 2 \cr & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (y + 2x) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{ - 2{x^2} + 3x} \over {x - 1}} + 2x} \right) = 1 \cr}
Tiệm cận xiên là: y=-2x+1
Bảng biến thiên:
Đồ thị giao Oy tại điểm (0;0) và \left( {{3 \over 2};0} \right)
