Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

145 lượt xem

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử hằng đẳng thức thu gọn f(x) và đánh giá dựa vào tính chất hàm sin.

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D=\mathbb R$

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - \frac{1}{2}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2}\\ = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}2x \ge 0 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 0\\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1 - 0 = 1 \end{array}$

$\Rightarrow f\left( x \right) \le 1$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$

Mà $f\left( 0 \right) = 1$ .

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\mathbb {R}} f\left( x \right) = 1$

Lại có,

$\begin{array}{l} {\sin ^2}2x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le \frac{1}{2}\\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow f\left( x \right) \ge \frac{1}{2} \end{array}$

với mọi $x \in {\mathbb{R}}$

Mà $f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}$

Vậy $\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}} = {1 \over 2}$ .

SGK Toán 12 Nâng cao