Cho bốn điểm A(1;6;2),B(4;0;6), C(5;0;4),D(5;1;3).
LG a
Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.
Lời giải chi tiết:
Ta có →AB=(3;−6;4);→AC=(4;−6;2); →AD=(4;−5;1).
[→AB,→AC]=(|−64−62|;|4324|;|3−64−6|)=(12;10;6)⇒[→AB,→AC].→AD=12.4−5.10+6.1=4≠0.
Vậy A, B, C, D không đồng phẳng nên ABCD là hình tứ diện.
LG b
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải chi tiết:
Thể tích hình tứ diện ABCD là VABCD=16|[→AB,→AC].→AD| =46=23.
LG c
Viết phương trình mp(BCD).
Lời giải chi tiết:
Ta có →BC=(1;0;−2);→BD=(1;1;−3)
→n=[→BC;→BD] =(|0−21−3|;|−21−31|;|1011|) =(2;1;1).
Mp(BCD) qua B(4; 0; 6) có vectơ pháp tuyến →n nên có phương trình:
2(x−4)+1(y−0)+1(z−6)=0 ⇔2x+y+z−14=0.
LG d
Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD) có bán kính
R=d(A;(BCD)) =|2.1+1.6+1.2−14|√22+12+22=4√6=2√63.
Phương trình mặt cầu là: (x−1)2+(y−6)2+(z−2)2=83.
Gọi H là tiếp điểm thì AH là đường thẳng đi qua A vuông góc với mp(BCD) nên có vectơ chỉ phương là →n=(2;1;1).
Vậy AH có phương trình tham số:
{x=1+2ty=6+tz=2+t.
Thay x, y, z vào phương trình mp(BCD) ta được:
2(1+2t)+6+t+2+t−14=0 ⇒t=23. Vậy H(73;203;83)
