Đề bài
Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {1 + i} \right)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính
\(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức nhị thức Newton:
\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... \) \(+ C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^n{b^n}\)
Công thức Moa-vro:
\(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \) \(\Rightarrow {z^n} = {r^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right)\)
Chú ý:
\( \begin{array}{l}
{i^{4k}} = 1,{i^{4k + 2}} = - 1\\
{i^{4k + 1}} = i,{i^{4k + 3}} = - i
\end{array}\)
Lời giải chi tiết
Theo nhị thức Niu-tơn ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {1 + i} \right)^{19}}\\
= C_{19}^0 + C_{19}^1i + ... + C_{19}^{18}{i^{18}} + C_{19}^{19}{i^{19}}\\
= \left( {C_{19}^0 + C_{19}^2{i^2} + C_{19}^4{i^4} + ... + C_{19}^{18}{i^{18}}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1i + C_{19}^3{i^3} + C_{19}^5{i^5} + ... + C_{19}^{19}{i^{19}}} \right)\\
= \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... - C_{19}^{18}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1i - C_{19}^3i + C_{19}^5i - ... - C_{19}^{19}i} \right)\\
= \left( {C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... - C_{19}^{18}} \right)\\
+ \left( {C_{19}^1 - C_{19}^3 + C_{19}^5 - ... - C_{19}^{19}} \right)i
\end{array}\)
Phần thực ở vế phải là: \(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18}.\)
Mặt khác:
\(\eqalign{
& {\left( {1 + i} \right)^{19}} = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)} \right]^{19}} \cr &= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos {{19\pi } \over 4} + i\sin {{19\pi } \over 4}} \right) \cr
& = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)\cr &= {\left( {\sqrt 2 } \right)^{19}}\left( { - {{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right) \cr &= - {2^9} + {2^9}i \cr
& \Rightarrow C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4 - ... + C_{19}^{16} - C_{19}^{18} \cr &=- {2^9} = - 512. \cr} \)
