Đề bài
Người ta định làm một cái hộp hình trụ bằng tôn có thể tích \(V\) cho trước. Tìm bán kính đáy \(r\) và chiều cao của hình trụ sao cho tốn ít nguyên liệu nhất.
Lời giải chi tiết
Thể tích của hình trụ là: \(V = B.h = \pi {r^2}.h \Rightarrow h = {V \over {\pi {r^2}}}\)
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
\(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r.h = 2\pi {r^2} + 2\pi .r.{V \over {\pi {r^2}}} \) \(= 2\pi {r^2} + {{2V} \over r}\)
Xét hàm số:
\(\eqalign{
& S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + {{2V} \over r}\,\,\left( {r > 0} \right) \cr
& S' = 4\pi r - {{2V} \over {{r^2}}} = {{4\pi {r^3} - 2V} \over {{r^2}}} \cr
& S' = 0 \Leftrightarrow 4\pi {r^3} - 2V = 0\cr& \Leftrightarrow {r^3} = \frac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow r = \root 3 \of {{V \over {2\pi }}} \cr} \)
Bảng biến thiên:
\(S\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(r = \root 3 \of {{V \over {2\pi }}} \) khi đó \(h = {V \over {\pi {r^2}}} = {V \over {\pi \root 3 \of {{{{V^2}} \over {4{\pi ^2}}}} }} = \root 3 \of {{{4V} \over \pi }} \)
