Bài 12 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao

120 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho $\overrightarrow {SN} = {1 \over 3}\overrightarrow {SB}$ .

LG a

Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Phương pháp giải:

Chọn hệ trục Oxyz sao cho A trùng O, tia AC trùng tia Ox, AS trùng Oz.

Tìm tọa độ các điểm và tính toán.

Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, B nằm trong góc xOy.
Ta có: $A = \left( {0;0;0} \right),C = \left( {b;0;0} \right),$ $B = \left( {b;a;0} \right),S = \left( {0;0;h} \right)$ .

$M\left( {{b \over 2};0;0} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {b;a; - h} \right)$

Gọi $N\left( {x;y;z} \right)$ thì $\overrightarrow {SN} = \left( {x;y;z - h} \right)$ .

$\overrightarrow {SN} = {1 \over 3}\overrightarrow {SB} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {b \over 3} \hfill \cr y = {a \over 3} \hfill \cr z - h = {{ - h} \over 3} \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {b \over 3} \hfill \cr y = {a \over 3} \hfill \cr z = {{2h} \over 3} \hfill \cr} \right.$ $\Rightarrow N\left( {{b \over 3};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right)$

$\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \left( {{b \over 3} - {b \over 2};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right) \cr &= \left( { - {b \over 6};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right) \cr & MN = \sqrt {{{{b^2}} \over {36}} + {{{a^2}} \over 9} + {{4{h^2}} \over 9}} \cr &= {1 \over 6}\sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} \cr}$

LG b

Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.

Phương pháp giải:

$MN \bot SB \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SB} = 0$

Lời giải chi tiết:

$MN \bot SB \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SB} = 0$ $\Leftrightarrow - {{{b^2}} \over 6} + {{{a^2}} \over 3} + {{ - 2{h^2}} \over 3} = 0$ $\Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} - {b^2}$

SGK Toán 12 Nâng cao