Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
LG a
\(f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 - 3{x^2}} ;\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\displaystyle u = \sqrt {7 - 3{x^2}} \Rightarrow {u^2} = 7 - 3{x^2}\) \(\displaystyle \Rightarrow 2udu = - 6xdx \Rightarrow 3xdx = - udu\)
Do đó \(\displaystyle \int {3x\sqrt {7 - 3{x^2}} dx }\) \(\displaystyle = - \int {{u^2}du }\) \(\displaystyle = - {{u^3} \over 3} + C \) \(\displaystyle = - \frac{{{{\left( {\sqrt {7 - 3{x^2}} } \right)}^3}}}{3} + C \) \(\displaystyle = - \frac{{\left( {7 - 3{x^2}} \right)\sqrt {7 - 3{x^2}} }}{3} + C\)
LG b
\(f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right);\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(3x + 4 = u\) \( \Rightarrow du = 3dx \Rightarrow dx = \dfrac{{du}}{3}\)
\( \Rightarrow \int {\cos \left( {3x + 4} \right)dx} = \int {\cos u.\dfrac{{du}}{3}} \) \( = \dfrac{1}{3}\sin u + C\) \( = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C\)
LG c
\(f\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}};\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(3x + 2 = u\) \( \Rightarrow 3dx = du \Rightarrow dx = \dfrac{{du}}{3}\)
\( \Rightarrow \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}}dx} \) \( = \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}u}}.\dfrac{{du}}{3}} = \dfrac{1}{3}\int {\dfrac{{du}}{{{{\cos }^2}u}}} \) \( = \dfrac{1}{3}\tan u + C\) \( = \dfrac{1}{3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C\)
LG d
\(f\left( x \right) = {\sin ^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\displaystyle u = \sin {x \over 3} \Rightarrow du = {1 \over 3}\cos {x \over 3}dx \) \(\displaystyle \Rightarrow \cos {x \over 3}dx = 3du\)
Do đó \(\displaystyle \int {{{\sin }^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}dx = 3\int {{u^5}du } } \)\(\displaystyle = 3.\frac{{{u^6}}}{6} + C = \frac{1}{2}{\sin ^6}\frac{x}{3} + C\)
