Cho đường thẳng
\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 8 + 4t \hfill \cr
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)
và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 7 = 0\).
LG a
Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {1;4;2} \right)\). Cho t = 0 ta có một điểm \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) nằm trên d.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).
Lời giải chi tiết:
Vectơ pháp tuyến của mp(P) là \({\overrightarrow n _P} = \left( {1;1;1} \right)\).
Gọi \(\left( \alpha \right)\)là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \({\overrightarrow n _P}\) nên ta lấy \({\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left[ {\overrightarrow u ;{{\overrightarrow n }_P}} \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\).
\(Mp\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_0}\left( {0;8;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _\alpha } = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên có phương trình là: \(2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 8} \right) - 3\left( {z - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\)
LG c
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).
Lời giải chi tiết:
Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d’, d’ là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và (P):
\(\left\{ \matrix{
x + y + z - 7 = 0 \hfill \cr
2x + y - 3z + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Cho z = 0 ta có x = – 8; y = 15, d’ qua A(– 8; 15; 0).
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\\
\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {2;1; - 3} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right] = \left( { - 4;5; - 1} \right)
\end{array}\)
d’ đi qua A(– 8; 15; 0) và nhận \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right] = \left( { - 4;5; - 1} \right)\) làm VTCP nên có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = - 8 - 4t \hfill \cr
y = 15 + 5t \hfill \cr
z = - t \hfill \cr} \right.\)
