Trong mỗi bài tập dưới đây, hãy chọn một phương án trong các phương án cho để được khẳng định đúng.
Bài 60
Giả sử 5∫1dx2x−1=lnc. Giá trị của c là
(A) 9; (B) 3;
(C) 81; (D) 8.
Lời giải chi tiết:
5∫1dx2x−1=5∫112(2x−1)′dx2x−1=125∫1d(2x−1)2x−1=12ln|2x−1||51=12(ln9−ln1)=12ln32=ln3⇒lnc=ln3⇒c=3
Chọn (B).
Chú ý:
Có thể sử dụng công thức làm nhanh ∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C
Bài 61
Giá trị của 2∫02e2xdx là
(A)e4; (B)e4−1;
(C)4e4; (D)3e4−1;
Lời giải chi tiết:
2∫02e2xdx=2∫0e2x(2x)′dx=2∫0e2xd(2x)=e2x|20=e4−e0=e4−1
Chú ý: Có thể sử dụng công thức làm nhanh ∫eax+bdx=eax+ba+C
2∫02e2xdx=2.e2x2|20=e4−1
Chọn (B).
Bài 62
Giá trị của 0∫−1x2(x+1)3dx là:
(A)−710; (B)−610;
(C)215; (D)160.
Lời giải chi tiết:
0∫−1x2(x+1)3dx=0∫−1x2(x3+3x2+3x+1)dx=0∫−1(x5+3x4+3x3+x2)dx=(x66+3x55+3x44+x33)|0−1=0−(16−35+34−13)=160
Chọn (D).
Bài 63
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng y=4x và đồ thị hàm số y=x3 là:
(A) 4; (B) 5;
(C) 3; (D) 3,5.
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích S=b∫a|f(x)−g(x)|dx
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
{x3=4xx≥0⇔[x=0x=2
Với x∈[0;2] ⇒4x−x3=x(4−x2)≥0
⇒|4x−x3|=4x−x3
Diện tích cần tìm là: S=2∫0|4x−x3|dx =2∫0(4x−x3)dx =(2x2−x44)|20 8−4=4
Chọn (A).
Bài 64
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bới hai đường thẳng y=8x,y=x và đồ thị hàm số y=x3 là:
(A) 12; (B) 15,75;
(C) 6,75; (D) 4
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích S=b∫a|f(x)−g(x)|dx
Lời giải chi tiết:
x3=8x⇔[x=0x=2√2x=−2√2(loại)x3=x⇔[x=0x=1x=−1(loại)
S=2√2∫0(8x−x3)dx−1∫0(x−x3)dx=(4x2−x44)|2√20−(12x2−14x4)|10=(32−16)−(12−14)=16−14=15,75
Chọn (B).
Bài 65
Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất được giới hạn bởi đường thẳng y=2x và đồ thị hàm số y=x2 là:
(A)43; (B)32;
(C)53; (D)2315.
Phương pháp giải:
- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức tính diện tích S=b∫a|f(x)−g(x)|dx
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2x=x2⇔[x=0x=2
Với x∈[0;2] thì 2x−x2≥0 ⇒|2x−x2|=2x−x2
S=2∫0|2x−x2|dx=2∫0(2x−x2)dx =(x2−x33)|20=43
Chọn (A)
Bài 66
Cho hình phẳng A được giới hạn bởi đồ thị hàm hai số y=x2 và y=6−|x|. Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A xung quanh trục tung:
(A)32π3; (B)9π;
(C)8π; (D)20π3.
Phương pháp giải:
Dựng hình, sử dụng công thức V=πb∫af2(y)dy
Lời giải chi tiết:
y=6−|x|={6−x nếu x≥06+x nếu x<0
Giao điểm của (P) với đường thẳng y=6−x ( với x≥0) là:
{x2=6−xx≥0⇔x=2(y=4)
V=4∫0π(√y)2dy+6∫4π(6−y)2dy=π4∫0ydy+π6∫4(y−6)2dy=πy22|40+π13(y−6)3|64=8π+8π3=32π3
Chọn (A)
Bài 67
Cho a,b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai được giới hạn bởi parabol y=ax2 và đường thẳng y=−bx. Biết rằng thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K xung quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của a và b. Khi đó a và b thỏa mãn điều kiện sau:
(A)b4=2a5;
(B)b3=2a5;
(C)b5=2a3;
(D)b4=2a2.
Lời giải chi tiết:
ax2=−bx⇔[x=0x=−ba
V=π0∫−ba(−bx)2dx−π0∫−ba(ax2)2dx
=π0∫−ba(b2x2−a2x4)dx =\pi \left( {{{{b^2}{x^3}} \over 3} - {{{a^2}{x^5}} \over 5}} \right)\mathop |\nolimits_{ - {b \over a}}^0
= - \pi \left( {{{ - {b^5}} \over {3{a^3}}} + {{{b^5}} \over {5{a^3}}}} \right) = {{2\pi {b^5}} \over {15{a^3}}}
Vì {{{b^5}} \over {{a^3}}} là hằng số nên ta phải chọn (C).
Khi đó V = {{4\pi } \over {15}}.
