Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

122 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:

$d:\left\{ \matrix{ x = {2 \over 3} + t \hfill \cr y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( P \right):x - 3y + z - 1 = 0$ .

LG a

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P)

Phương pháp giải:

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì $d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$ là hình chiếu của d trên (P).

Lời giải chi tiết:

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì $d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$ là hình chiếu của d trên (P).

Đường thẳng d đi qua ${M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)$ .

Mp(P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left( {1; - 3;1} \right)$ .

Mp(Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \bot \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {{n_Q}} \bot \overrightarrow {{n_P}}$ .

Vì $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right] = \left( {4;0; - 4} \right)$ nên chọn $\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = \left( {1;0; - 1} \right)$ .

(Q) chứa d nên (Q) qua ${M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)$ do đó (Q) có phương trình $x - {2 \over 3} - z = 0$ $\Leftrightarrow 3x - 3z - 2 = 0$

Ta có

$d':\left\{ \matrix{ x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 3x - 3z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.$

Cho z = 0, ta có $x = {2 \over 3},y = - {1 \over 9}$ $\Rightarrow A\left( {{2 \over 3}; - {1 \over 9};0} \right) \in d'$ và d’ có vectơ chỉ phương là

$\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$ $= \left( {\left| \matrix{ - 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 0\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr - 3\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 3\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right)$ $= \left( {9;6;9} \right) = 3\left( {3;2;3} \right).$

Phương trình tham số của d’ là

$\left\{ \matrix{ x = {2 \over 3} + 3t \hfill \cr y = - {1 \over 9} + 2t \hfill \cr z = 3t \hfill \cr} \right.$ .

LG b

Viết phương trình đường thẳng ${d_1}$ là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz.

Phương pháp giải:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì ${d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì ${d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)$ .
Mp(R) đi qua ${M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)$ và có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả $\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)$ và $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ (vectơ chỉ phương Oz) nên $\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)$ .
Mp(R) có phương trình là $1\left( {x - {2 \over 3}} \right) - 1\left( {y + {{11} \over 3}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - 3y - 13 = 0$
Ta có

${d_1}:\left\{ \matrix{ x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 3x - 3y - 13 = 0 \hfill \cr} \right.$ .

Cho y = 0, ta có $x = {{13} \over 3},z = - {{10} \over 3}$ suy ra $B\left( {{{13} \over 3};0; - {{10} \over 3}} \right) \in {d_1}$ .
${d_1}$ có vectơ chỉ phương

$\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right]$ $= \left( {\left| \matrix{ - 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr - 3\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 3\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right)$ $= \left( {3;3;6} \right) = 3\left( {1;1;2} \right).$

Vậy ${d_1}$ có phương trình tham số là

$\left\{ \matrix{ x = {{13} \over 3} + t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = - {{10} \over 3} + 2t \hfill \cr} \right.$

LG c

Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với mp(P) thì (P’) có phương trình: x – 3y + z = 0.

Giao điểm I của đường thẳng d và mp(P’) có tọa độ thỏa mãn hệ:

$\left\{ \matrix{ x = {2 \over 3} + t \hfill \cr y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr z = t \hfill \cr x - 3y + z = 0 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow I\left( {{{37} \over 3};8;{{35} \over 3}} \right)$

Đường thẳng đi qua O và I là đường thẳng cần tìm, ta có phương trình:

${x \over {{{37} \over 3}}} = {y \over 8} = {z \over {{{35} \over 3}}}$ $\Leftrightarrow {x \over {37}} = {y \over {24}} = {z \over {35}}$

SGK Toán 12 Nâng cao