Chứng minh rằng:
LG a
Nếu vec tơ →u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ →u là |→u|=|z|, và từ đó nếu các điểm A1,A2 theo thứ tự biểu diễn các số phức z1,z2 thì |→A1A2|=|z2−z1|;
Phương pháp giải:
Độ dài véc tơ →u=(a;b) là |→u|=√a2+b2
Mô đun số phức z=a+bi là |z|=√a2+b2
Lời giải chi tiết:
Nếu z=a+bi(a,b∈R) thì |z|=√a2+b2
→u biểu diễn số phức z thì →u=(a;b) và |→u|=√a2+b2
Do đó |→u|=|z|.
Gọi A1 là điểm biểu diễn số phức z1=a1+b1 i=>A1 (a1;b1)
A2 là điểm biểu diễn số phức z2=a2+b2 i=>A2 (a2;b2)
⇒→A1A2=(a2−a1;b2−b1)⇒|→A1A2|=√(a2−a1)2+(b2−b1)2z2−z1=(a2+b2i)−(a1+b1i)=(a2−a1)+(b2−b1)i⇒|z2−z1|=√(a2−a1)2+(b2−b1)2⇒|→A1A2|=|z2−z1|
LG b
Với mọi số phức z, z', ta có |zz′|=|z||z′| và khi z≠0 thì |z′z|=|z′||z|;
Lời giải chi tiết:
z=a+bi;z′=a′+b′i thì |z|2=a2+b2;|z′|2=a′2+b′2 và z.z′=(aa′−bb′)+(ab′+a′b)i nên
|z.z′|2=(aa′−bb′)2+(ab′+a′b)2=(aa′)+(bb′)2−2aa′bb′+(ab′)2+(a′b)2+2ab′a′b=(aa′)2+(bb′)2+(ab′)2+(a′b)2|z|2.|z′|2=(a2+b2)(a′2+b′2)=a2a′2+a2b′2+a′2b2+b2b′2=(aa′)2+(bb′)2+(ab′)2+(a′b)2⇒|zz′|2=|z|2.|z′|2⇒|zz′|=|z|.|z′|
Khi z≠0 ta có:
|z′z| =|z′¯z|z|2| =1|z|2|z′.¯z| =1|z|2.|z′|.|¯z| =1|z|2.|z′|.|z| =|z′||z|
LG c
Với mọi số phức z, z', ta có |z+z′|≤|z|+|z′|.
Phương pháp giải:
Đưa về véc tơ biểu diễn số phức và áp dụng bất đẳng thức véc tơ suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết:
Giả sử →u biểu diễn z và →u′ biểu diễn z' thì →u+→u′ biểu diễn z+z'. Ta có:
|→u+→u′|=|z+z′|;|→u|=|z|; |→u′|=|z′|
Mà |→u+→u′|≤|→u|+|→u′| nên |z+z′|≤|z|+|z′|
Dấu "=" xảy ra khi z=0 hoặc z′=0.
Cách khác:
Với mọi số phức z, z’, ta có: z + z’ = (a +a’) + (b +b’)i
⇒|z+z′|=√(a+a′)2+(b+b′)2|z|+|z′|=√a2+b2+√a′2+b′2
Theo yêu cầu bài toán ta cần chứng minh:
Theo Bu-nhi-cốp-xki ta có bất đẳng thức (*) đúng với ∀a,b,a',b'∈R nên |z+z'| ≤ |z|+|z'| (đpcm)
