Bài 69 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao

135 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

$\eqalign{ & \,{\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0 \cr}$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x> 0$

$\eqalign{ & {\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0 \cr& \Leftrightarrow {\left( {\log {x^3}} \right)^2} - 20.\log {x^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0 \cr&\Leftrightarrow {\left( {3\log x} \right)^2} - 20.\frac{1}{2}\log x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow 9{\log ^2}x - 10\log x + 1 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \log x = 1 \hfill \cr \log x = {1 \over 9} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 10 \hfill \cr x = {10^{{1 \over {9}}}} = \root 9 \of {10} \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy $S = \left\{ {10;\root 9 \of {10} } \right\}$

Chú ý:

Có thể đặt $t=\log x$ để giải phương trình như sau:

$\begin{array}{l} 9{t^2} - 10t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{1}{9} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \log x = 1\\ \log x = \frac{1}{9} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 10\\ x = {10^{\frac{1}{9}}} \end{array} \right. \end{array}$

LG b

$\,{{{{\log }_2}x} \over {{{\log }_4}2x}} = {{{{\log }_8}4x} \over {{{\log }_{16}}8x}}$

Lời giải chi tiết:

${{{{\log }_2}x} \over {{{\log }_4}2x}} = {{{{\log }_8}4x} \over {{{\log }_{16}}8x}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Điều kiện: $x > 0$ , $x \ne {1 \over 2},\,x \ne {1 \over 8}$
Ta có: ${\log _4}2x = {{{{\log }_2}2x} \over {{{\log }_2}4}} = {{1 + {{\log }_2}x} \over 2}$

$\eqalign{ & {\log _8}4x = {{{{\log }_2}4x} \over {{{\log }_2}8}} = {{2 + {{\log }_2}x} \over 3} \cr & {\log _{16}}8x = {{{{\log }_2}8x} \over {{{\log }_2}16}} = {{3 + {{\log }_2}x} \over 4} \cr}$

Đặt $t = {\log _2}x$ thì (1) thành:

$\dfrac{t}{{\frac{{1 + t}}{2}}} = \dfrac{{\frac{{2 + t}}{3}}}{{\frac{{3 + t}}{4}}}$

$\Leftrightarrow t.\frac{{3 + t}}{4} = \frac{{1 + t}}{2}.\frac{{2 + t}}{3}$

$\Leftrightarrow 6t\left( {3 + t} \right) = 4\left( {1 + t} \right)\left( {2 + t} \right)$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 18t + 6{t^2} = 8 + 12t + 4{t^2} \cr&\Leftrightarrow 2{t^2} + 6t - 8 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 4 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left[ \matrix{ {\log _2}x = 1 \hfill \cr {\log _2}x = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2 \hfill \cr x = {2^{ - 4}} = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy $S = \left\{ {2;{1 \over {16}}} \right\}$

Chú ý:

Có thể trình bày như sau:

LG c

$\eqalign{& \,{\log _{9x}}27 - {\log _{3x}}243 = 0 \cr}$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0$ ; $x \ne {1 \over 9},\,x \ne {1 \over 3}$
Ta có: ${\log _{9x}}27 - {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0$

$\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{27}}9x}} - {1 \over {{{\log }_3}3x}} + {\log _{{3^2}}}{3^5} = 0$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_{{3^3}}}9x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + \frac{1}{2}{\log _3}{3^5} = 0 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {{{\log }_3}9x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {2 + {{\log }_3}x}} - {1 \over {1 + {{\log }_3}x}} + {5 \over 2} = 0 \cr}$

Đặt ${\log _3}x = t$
Ta có phương trình: ${3 \over {t + 2}} - {1 \over {t + 1}} + {5 \over 2} = 0$

$\eqalign{ & \Rightarrow 6\left( {t + 1} \right) - 2\left( {t + 2} \right) + 5\left( {t + 2} \right)\left( {t + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 6t + 6 - 2t - 4 + 5\left( {{t^2} + 3t + 2} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 5{t^2} + 19t + 12 = 0\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - 0,8 \hfill \cr t = - 3 \hfill \cr} \right.(TM) \cr&\Rightarrow \left[ \matrix{ {\log _3}x = - 0,8 \hfill \cr {\log _3}x = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {3^{ - 0,8}} \hfill \cr x = {3^{ - 3}} \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy $S = \left\{ {{3^{ - 3}};{3^{ - 0,8}}} \right\}$

SGK Toán 12 Nâng cao