LG a
Tìm tập hợp các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm O tiếp xúc với ba cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lần lượt tại các điểm I,J,K khi và chỉ khi OI⊥AB,OJ⊥BC,OK⊥CA, OI=OJ=OK∈(∗)
Gọi O′ là hình chiếu vuông góc của O trên mp (ABC) thì các điều kiện (*) tương đương với O′I⊥AB,O′J⊥BC,O′K⊥CA, O′I=O′J=O′K hay O′ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Từ đó suy ra tập hợp các điểm O là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
LG b
Chứng minh rằng nếu có mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của hình tứ diện ABCD thì AB+CD=AC+BD=AD+BC
Lời giải chi tiết:
Giả sử mặt cầu (S) nội tiếp với các cạnh AB,BC,CD,DA,AC,BD lần lượt tại P,Q,R,S,T,U.
Ta cần chứng minh: AB+CD=AC+BD=AD+BC
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:
AB+CD=AP+PB+CR+RD=AT+BU+CT+DU=(AT+TC)+(BU+UD)=AC+BD
Vậy AB+CD=AC+BD
Chứng minh tương tự AC+BD=AD+BC
Vậy AB+CD=AC+BD=AD+BC.
