Cho khối tứ diện ABCD,E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện.
LG a
Kể tên bốn khối tứ diện đó.
Lời giải chi tiết:
Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện ADEF,ACEF,BDEF,BCEF
LG b
Chứng tỏ rằng bốn khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Do E là trung điểm của AB nên S∆BEF=S∆AEF
⇒ VCBEF = VCAEF và VDBEF = VDAEF (1)
Tương tự S∆CEF = S∆DEF và VACEF = VADEF (2)
Từ (1) và (2), suy ra: VBCEF=VADEF=VBDEF=VADEF
LG c
Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trên bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Nếu ABCD là tứ diện đều thì nó nhận mp (ABF) và mp (CDE) làm các mặt phẳng đối xứng và phép đối xứng qua đường thẳng EF biến tứ diện ADEF thành tứ diện BCEF. Từ đó suy ra:
Khối tứ diện ADEF bằng khối tứ diện ACEF (vì chúng đối xứng với nhau qua mp (ABF))
Khối tứ diện ADEF bằng khối tứ diện BDEF (vì chúng đối xứng với nhau qua mp (CDE))
Khối tứ diện ADEF bằng khối tứ diện BCEF (vì phép đối xứng qua trục EF biến tứ diện này thành tứ diện kia)
Cách khác:
Ta có: Phép đối xứng qua (ABF) biến:
+ tứ diện ACEF thành tứ diện ADEF
+ tứ diện BCEF thành BDEF
Phép đối xứng qua (CED) biến:
+ tứ diện BDEF thành tứ diện ADEF
+ tứ diện BCEF thành ACEF.
Suy ra các tứ diện BCEF, ACEF, ADEF, BDEF bằng nhau.
