LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {{x + 1} \over {x - 2}}\)
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Tiệm cận đứng \(x = 2\) vì:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = + \infty
\end{array}\)
Tiệm cận ngang \(y = 1\) vì:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 1\)
\(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
Điểm đặc biệt: \(A\left( {0; - {1 \over 2}} \right),\,B\left( { - 1;0} \right)\)
Đồ thị nhận điểm \(I(2;1)\) làm tâm đối xứng.
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm \(A\) của đồ thị với trục tung.
Lời giải chi tiết:
Giao điểm của đồ thị với trục tung \(A\left( {0; - {1 \over 2}} \right)\)
\(y'\left( 0 \right) = - {3 \over 4}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là:
\(y + {1 \over 2} = - {3 \over 4}\left( {x - 0} \right) \) \(\Leftrightarrow y = - {3 \over 4}x - {1 \over 2}\)
LG c
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm \(A\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(M\) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại \(A\) ta có:
\(y'\left( {{x_M}} \right) = - {3 \over 4} \) \(\Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_M} - 2} \right)}^2}}} = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 2} \right)^2} = 4\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} - 2 = 2 \hfill \cr
{x_M} - 2 = - 2 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} = 4 \hfill \cr
{x_M} = 0\,\,(\text{ loại vì }{x_A} = 0) \hfill \cr} \right.\)
\(y\left( 4 \right) = {5 \over 2}\). Vậy \(M\left( {4;{5 \over 2}} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) là: \(y - {5 \over 2} = - {3 \over 4}\left( {x - 4} \right)\) \( \Leftrightarrow y = - {3 \over 4}x + {{11} \over 2}\)
