Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:
LG a
\(\left| {z - i} \right| = 1\)
Phương pháp giải:
Điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi.
Lời giải chi tiết:
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in R\)
Khi đó \(z - i = x + \left( {y - 1} \right)i\)
\(\left| {z - i} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {0,1} \right)\) bán kính \(1\).
LG b
\(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\left| {\dfrac{z}{{z'}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z'} \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in R\).
Ta có:\(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1 \) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {z - i} \right|}}{{\left| {z + i} \right|}} = 1\) \(\Leftrightarrow \left| {z - i} \right| = \left| {z + i} \right| \) \(\Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 \) \(= {x^2} + {y^2} + 2y + 1\)
\( \Leftrightarrow y = 0 \)
\(\Leftrightarrow \) z là số thực.
Tập hợp M là trục thực \(Ox\).
LG c
\(\left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right|\)
Phương pháp giải:
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in R\), thay vào điều kiện bài cho tìm mối quan hệ x,y.
Lời giải chi tiết:
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in R\).
\(\left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right| \) \(\Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {x - yi - 3 + 4i} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {\left( {x - 3} \right) + \left( {4 - y} \right)i} \right| \) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2}\) \( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 6x + 8y = 25\)
Tập hợp M là đường thẳng có phương trình: \(6x + 8y = 25\)
