Bài 42 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

117 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

LG a

Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu $\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 3}$ với $a,b \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$ thì $a + b = {\pi \over 4}$ .

Phương pháp giải:

Tính acgumen của zz' bằng hai cách rồi suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Biểu diễn hình học $2 + i, 3 + i$ theo thứ tự bới M và N trong mặt phẳng phức

Ta có: $\tan \left( {Ox,\,OM} \right) = {1 \over 2} = \tan a$

$\tan \left( {Ox,\,ON} \right) = {1 \over 3} = \tan b$

Xét $z.z' = (2 + i).(3 + i) = 5(1 + i)$

$= 5\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)$

Số $zz'$ có acgumen là ${{\pi \over 4}}$ .

Mà zz' cũng có acgumen là a+b.

Suy ra $a + b = {\pi \over 4}$

LG b

Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu $\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 5},\,\tan c = {1 \over 8}$ với $a,b,c \in \left( {0;{\pi \over 2}} \right)$ thì $a + b + c = {\pi \over 4}$ .

Lời giải chi tiết:

${z_1} = 2 + i$ có một acgumen là a với $\tan a = {1 \over 2}$

${z_2} = 5 + i$ có một acgumen là b với $\tan b = {1 \over 5}$

${z_3} = 8 + i$ có một acgumen là c với $\tan c = {1 \over 8}$

Xét $z = {z_1}{z_2}{z_3} = \left( {2 + i} \right)\left( {5 + i} \right)\left( {8 + i} \right)$ $= 65\left( {1 + i} \right)$

$= 65\sqrt 2 \left( {{{\sqrt 2 } \over 2} + i{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)$ $= 65\sqrt 2 \left( {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right)$

$z$ có acgumen là ${\pi \over 4}$ , suy ra $a + b + c = {\pi \over 4}$

SGK Toán 12 Nâng cao