Bài 60 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao

139 lượt xem

Đề bài

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: $f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x$ và $g\left( x \right) = {{3x} \over {x + 2}}$ tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hai đường cong f(x) và g(x) tiếp xúc nhau nếu hệ sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \end{array} \right.$

Nghiệm của hệ trên chính là hoành độ tiếp điểm.

Lời giải chi tiết

Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \end{array} \right.$

$\eqalign{ \Leftrightarrow & \left\{ \matrix{ {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} \hfill \cr {\left( {{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x} \right)'} = {\left( {{{3x} \over {x + 2}}} \right)'} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}}\,(1) \hfill \cr x + {3 \over 2} = {6 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\,(2) \hfill \cr} \right. \cr }$

$\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} = \frac{{3x}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} - \frac{{3x}}{{x + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 2{x^2} + 6x - 6x = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + 5{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 0\\ x + 5 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 5 \end{array} \right.\left( {TM} \right) \end{array}$

Thay x=0 và x=-5 vào (2) ta được:

+) $x=0$ thì $VT=0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}}=VP$ nên x=0 thỏa mãn (2)

Do đó x=0 là nghiệm của hệ.
+) $x =-5$ thì $VT = - 5 + \frac{3}{2} = - \frac{7}{2} \ne \frac{6}{{{{\left( { - 5 + 2} \right)}^2}}} = VP$ nên x=-5 không thỏa mãn (2)

Vậy hệ có $1$ nghiệm duy nhất $x = 0$ suy ra y=0.

Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ $O$ ; $y'\left( 0 \right) = {3 \over 2}$ .

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là $y = {3 \over 2}x.$

Cách khác:

Các em có thể giải trực tiếp hệ trên mà không cần thay như sau:

SGK Toán 12 Nâng cao