Đề bài
Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x\) và \(g\left( x \right) = {{3x} \over {x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hai đường cong f(x) và g(x) tiếp xúc nhau nếu hệ sau có nghiệm:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = g\left( x \right)\\
f'\left( x \right) = g'\left( x \right)
\end{array} \right.\)
Nghiệm của hệ trên chính là hoành độ tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = g\left( x \right)\\
f'\left( x \right) = g'\left( x \right)
\end{array} \right.\)
\(\eqalign{
\Leftrightarrow & \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}} \hfill \cr
{\left( {{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x} \right)'} = {\left( {{{3x} \over {x + 2}}} \right)'} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over 2} + {3 \over 2}x = {{3x} \over {x + 2}}\,(1) \hfill \cr
x + {3 \over 2} = {6 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\,(2) \hfill \cr} \right. \cr } \)
\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} = \frac{{3x}}{{x + 2}}\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 3x}}{2} - \frac{{3x}}{{x + 2}} = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = 0\\
\Rightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + 2} \right) - 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 2{x^2} + 6x - 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} + 5{x^2} = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 0\\
x + 5 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 5
\end{array} \right.\left( {TM} \right)
\end{array}\)
Thay x=0 và x=-5 vào (2) ta được:
+) \(x=0\) thì \(VT=0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}}=VP\) nên x=0 thỏa mãn (2)
Do đó x=0 là nghiệm của hệ.
+) \(x =-5\) thì \(VT = - 5 + \frac{3}{2} = - \frac{7}{2} \ne \frac{6}{{{{\left( { - 5 + 2} \right)}^2}}} = VP\) nên x=-5 không thỏa mãn (2)
Vậy hệ có \(1\) nghiệm duy nhất \(x = 0\) suy ra y=0.
Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ \(O\); \(y'\left( 0 \right) = {3 \over 2}\).
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = {3 \over 2}x.\)
Cách khác:
Các em có thể giải trực tiếp hệ trên mà không cần thay như sau:
