Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

161 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm cực trị của các hàm số sau:

LG a

$y = x\sqrt {4 - {x^2}}$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$

$y' = \sqrt {4 - {x^2}} + x.{{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}$ $= {{4 - {x^2} - {x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2$

$y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = - \sqrt 2$ ; giá trị cực tiểu $y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = \sqrt 2$ ; giá trị cực đại $y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2$

LG b

$y = \sqrt {8 - {x^2}}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]$

$y' = \frac{{\left( {8 - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }}= {{ - x} \over {\sqrt {8 - {x^2}} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$ , giá trị cực đại $y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2$

LG c

$y = x - \sin 2x + 2$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: $D=\mathbb R$

$\,y' = 1 - 2\cos 2x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3}$

$\Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb {Z}}$

$y'' = 4\sin 2x$

* Ta có: $y''\left( {-{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)$ $= 4\sin \left( { - {\pi \over 3}} \right) = - 2\sqrt 3 < 0$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = - {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}$

Giá trị cực đại

$y\left( { - {\pi \over 6} + k\pi } \right) = - {\pi \over 6} + k\pi + {{\sqrt 3 } \over 2} + 2$

$y''\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)$ $= 4\sin \left( {{\pi \over 3}} \right) = 2\sqrt 3 > 0$ .

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x = {\pi \over 6} + k\pi ,k \in {\mathbb{Z}}$

Giá trị cực tiểu:

$y\left( {{\pi \over 6} + k\pi } \right) = {\pi \over 6} + k\pi - {{\sqrt 3 } \over 2} + 2$

LG d

$y = 3 - 2\cos x - \cos 2x$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc 2.

$y' = 2\sin x + 2\sin 2x$ $= 2\sin x + 2.2\sin x\cos x$ $= 2\sin x\left( {1 + 2\cos x} \right);$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x = 0 \hfill \cr \cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = \pm {{2\pi } \over 3} + 2k\pi ,k \in {\mathbb{Z}} \hfill \cr} \right.$

$y'' = \left( {2\sin x + 2\sin 2x} \right)'$ $= 2\cos x + 4\cos 2x.$

$y''\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi + 4\cos 2k\pi$ $= 2\cos k\pi + 4 > 0$ với mọi $k \in {\mathbb{Z}}$

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm $x = k\pi$ , giá trị cực tiểu:

$y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi - \cos 2k\pi$ $= 2 - 2\cos k\pi$

$y''\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right)$ $= 2\cos \left( { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right)$ $+ 4\cos \left( { \pm \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi } \right)$ $= 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 4.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 3 < 0.$

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm $x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in {\mathbb{Z}}$ ; giá trị cực đại:

$y\left( { \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \right)$ $= 3 - 2\cos {{2\pi } \over 3} - \cos {{4\pi } \over 3} = {9 \over 2}$ .

SGK Toán 12 Nâng cao