Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

121 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau :

LG a

$\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {x\cos 2xdx;}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần $\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {x\cos 2xdx }$ $= \left. {{1 \over 2}x\sin 2x} \right|_0^{{\pi \over 4}} - {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sin 2xdx}$

$= {\pi \over 8} + \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi \over 4}}$ $= {\pi \over 8} + {1 \over 4}\left( { - 1} \right) = {\pi \over 8} - {1 \over 4}.$

LG b

$\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx;$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến $u = \ln \left( {2 - x} \right)$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = \ln \left( {2 - x} \right) \Rightarrow du = {{ - 1} \over {2 - x}}dx$

$\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx = - \int\limits_{\ln 2}^0 {udu} = \int\limits_0^{\ln 2} {udu}$ $= \left. {{{{u^2}} \over 2}} \right|_0^{\ln 2} = {1 \over 2}{\left( {\ln 2} \right)^2}$

LG c

$\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{x^2}\cos xdx;}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần $\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = \cos xdx \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.$

Do đó $I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{x^2}\cos xdx }$ $= {x^2} \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi \over 2}}- 2\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\sin xdx }$ $= {{{\pi ^2}} \over 4} - 2{I_1}$

Với ${I_1} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\sin xdx}$

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - \cos x \hfill \cr} \right.$

Do đó ${I_1} = - x\left. {\cos x} \right|_0^{{\pi \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\cos xdx}$

$= - \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2} + 0\cos 0 + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $= 0 + \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0 = 1$

Vậy $I = {{{\pi ^2}} \over 4} - 2$

LG d

$\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx;}$

Phương pháp giải:

Đổi biến $u = \sqrt {{x^3} + 1}$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = \sqrt {{x^3} + 1} \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1$ $\Rightarrow 2udu = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}udu$

$\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx} = {2 \over 3}\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}du = \left. {{{2{u^3}} \over 9}} \right|} _1^{\sqrt 2 }$ $= {2 \over 9}\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)$

LG e

$\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx.}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần $\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {{dx} \over x} \hfill \cr v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = \left. {{{{x^3}} \over 3}\ln x} \right|} _1^e - {1 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}dx }$ $= {{{e^3}} \over 3} - \left. {{1 \over 9}{x^3}} \right| _1^e = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{9}\left( {{e^3} - 1} \right)$ $= {{2{e^3} + 1} \over 9}$

SGK Toán 12 Nâng cao