Đề bài
Cho đường cong \((C)\) có phương trình \(y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}\), trong đó \(a \ne 0\), \(c \ne 0\) và điểm \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thỏa mãn: \({y_o} = a{x_o} + b\) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\). Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong (\(C)\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(y = ax + b + {c \over {x - {x_o}}}\) \( \Leftrightarrow y = ax - a{x_0} + a{x_0} + b + \frac{c}{{x - {x_0}}}\) \( \Leftrightarrow y = a\left( {x - {x_o}} \right) + {y_o} + {c \over {x - {x_o}}}\)
\( \Leftrightarrow y - {y_o} = a\left( {x - {x_o}} \right) + {c \over {x - {x_o}}}\)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
x - {x_o} = X \hfill \cr
y - {y_o} = Y \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = X + {x_o} \hfill \cr
y = Y + {y_o} \hfill \cr} \right.\)
Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) với \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\).
Khi đó \(Y = aX + {c \over X}\) là phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY\).
\(Y = aX + {c \over X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận \(I\left( {{x_0};a{x_0} + b} \right)\) làm tâm đối xứng.
Cách trình bày khác:
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI với I(xo,yo) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + {y_0}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + {x_0}\\y = Y + a{x_0} + b\end{array} \right.\)
Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là:
\(Y + a{x_0} + b\)\( = a\left( {X + {x_0}} \right) + b + \frac{c}{{X + {x_0} - {x_0}}}\)
\( \Leftrightarrow Y + a{x_0} + b\) \( = aX + a{x_0} + b + \frac{c}{X}\)
\( \Leftrightarrow Y = aX + \frac{c}{X}\)
Do hàm số \(Y = aX + \frac{c}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ tâm I làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận \(I\left( {{x_0};a{x_0} + b} \right)\) làm tâm đối xứng.
