Đề bài
Cho đường cong (C) có phương trình y=ax+b+cx−xo, trong đó a≠0, c≠0 và điểm I(xo;yo) thỏa mãn: yo=axo+b . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ →OI và phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong (C).
Lời giải chi tiết
Ta có: y=ax+b+cx−xo ⇔y=ax−ax0+ax0+b+cx−x0 ⇔y=a(x−xo)+yo+cx−xo
⇔y−yo=a(x−xo)+cx−xo
Đặt
{x−xo=Xy−yo=Y ⇔{x=X+xoy=Y+yo
Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ →OI với I(xo;yo).
Khi đó Y=aX+cX là phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY.
Y=aX+cX là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận I(x0;ax0+b) làm tâm đối xứng.
Cách trình bày khác:
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo OI với I(xo,yo) là:
{x=X+x0y=Y+y0 hay {x=X+x0y=Y+ax0+b
Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là:
Y+ax0+b=a(X+x0)+b+cX+x0−x0
⇔Y+ax0+b =aX+ax0+b+cX
⇔Y=aX+cX
Do hàm số Y=aX+cX là hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ tâm I làm tâm đối xứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận I(x0;ax0+b) làm tâm đối xứng.
