LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=−x4+2x2−2
Lời giải chi tiết:
TXĐ: D=R
lim
Bảng biến thiên:
Hàm đồng biến trên các khoảng \left( { - \infty ; - 1} \right) và \left( {0;1} \right);
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \left( {1; + \infty } \right)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = -1 ; x = 1;
Giá trị cực đại y\left( { \pm 1} \right) = - 1. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, giá trị cực tiểu y(0) = -2.
\eqalign{ & y'' = - 12{x^2} + 4 = - 4\left( {3{x^2} - 1} \right) \cr & y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 3 }}\cr&y\left( { \pm {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) = {{ - 13} \over 9} \cr}
Xét dấu y”
Đồ thị có hai điểm uốn {I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right) và {I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)
Điểm đặc biệt x = 2 \Rightarrow y = - 10
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
LG b
Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình - {x^4} + 2{x^2} - 2 = m.
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số y = - {x^4} + 2{x^2} - 2 với đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu m < -2 thì phương trình có 2 nghiệm;
- Nếu m = -2 thì phương trình có 3 nghiệm;
- Nếu -2 < m < -1 thì phương trình có 4 nghiệm;
- Nếu m = -1 thì phương trình có 2 nghiệm;
- Nếu m> -1 thì phương trình vô nghiệm.
Vậy,
m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.
m = - 1 hoặc m < - 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm.
m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.
-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.
LG c
Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)
Lời giải chi tiết:
Đồ thị có hai điểm uốn {I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right) và {I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)
Ta có: y'\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = - 4.{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} + 4.\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = - \frac{8}{{3\sqrt 3 }}
phương trình tiếp tuyến của đồ thị {I_1} là:
\eqalign{ & y + {{13} \over 9} = y'\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr & \Leftrightarrow y = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr}
Lại có: y'\left( { \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = - 4.{\left( { \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} + 4.\left( { \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{8}{{3\sqrt 3 }}
Tương tự tiếp tuyến của đồ thị {I_2} là :
\eqalign{ & y + {{13} \over 9} = y'\left( { {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{ 8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr & \Leftrightarrow y = {{ 8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr}
Vậy 2 tiếp tuyến là y = {-8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} và y = {8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}
