Bài 5 trang 31 SKG Hình học 12 Nâng cao

126 lượt xem

Đề bài

Cho khối lăng trụ đểu $ABC.A'B'C’$ và $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Mặt phẳng $(B'C'M)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $B’M$ với $AA’$ ; $N$ là giao điểm của $IC’$ với $AC$ . Khi đó $A$ là trung điểm của $A’I$ và $N$ là trung điểm của $AC$ .

Đặt ${S_{ABC}} = S$ và $AA' = h$

Thiết diện của mp $(B’C’M)$ với khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ là hình thang cân $MNC’B’$ . Mp $(B’C’M)$ chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chứa cạnh $AA’$ có thể tích là ${V_1}$ , phần còn lại có thể tích là ${V_2}$ . Khi đó ta có:

$\eqalign{ & {V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}} \cr &= {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}} \cr & = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I - \frac{1}{3}{S_{AMN}}.AI\cr &= {1 \over 3}S.2h - {1 \over 3}.{S \over 4}h \cr & = {2 \over 3}Sh - {1 \over {12}}Sh = {7 \over {12}}Sh \cr &= {7 \over {12}}\left( {{V_1} + {V_2}} \right) \cr & \Rightarrow 12{V_1} = 7{V_1} + 7{V_2}\Leftrightarrow 5{V_1} = 7{V_2}\cr & \Rightarrow {{{V_1}} \over {{V_2}}} = {7 \over 5} \cr}$

Cách trình bày khác:

Ta có: $\frac{{IA}}{{IA'}} = \frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{IN}}{{IC'}} = \frac{{AM}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}$

${V_1} = {V_{AMN.A'B'C'}}$ $= {V_{I.A'B'C'}} - {V_{I.AMN}}$

${V_{I.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{S_{A'B'C'}}.A'I$ $= \frac{1}{3}S.2h = \frac{2}{3}Sh = \frac{2}{3}V$

$\frac{{{V_{I.AMN}}}}{{{V_{I.A'B'C'}}}} = \frac{{IA}}{{IA'}}.\frac{{IM}}{{IB'}}.\frac{{IN}}{{IC'}}$ $= \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

$\Rightarrow {V_{I.AMN}} = \frac{1}{8}{V_{I.A'B'C'}}$ $= \frac{1}{8}.\frac{2}{3}V = \frac{1}{{12}}V$

$\Rightarrow {V_1} = \frac{2}{3}V - \frac{1}{{12}}V = \frac{7}{{12}}V$

$\Rightarrow {V_2} = V - {V_1}$ $= V - \frac{7}{{12}}V = \frac{5}{{12}}V$

$\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{7}{{12}}V:\frac{5}{{12}}V = \frac{7}{5}$

SGK Toán 12 Nâng cao