Bài 17 trang 28 Hình học 12 Nâng cao

144 lượt xem

Đề bài

Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ , biết rằng $AA'B'D'$ là khối tứ diện đều cạnh $a$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tứ diện đều có hình chiếu của đỉnh xuống đáy chính là tâm đáy.

- Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ V=B.h.

Lời giải chi tiết

$AA’B’D’$ là tứ diện đều nên đường cao $AH$ có $H$ là tâm của tam giác đều $A’B’D’$ cạnh $a$ .

Mà \(ABCD)//(A'B'C'D') nên

h=d((ABCD),(A'B'C'D'))=d(A,(A'B'C'D')).

Do đó:

$\eqalign{ & A'H = {2 \over 3}A'O' = {2 \over 3}{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr & \Rightarrow A{H^2} = AA{'^2} - A'{H^2} \cr &= {a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {{2{a^2}} \over 3} \cr & \Rightarrow AH = a\sqrt {{2 \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3} \cr}$

Diện tích tam giác đều $A’B’D’$ là: ${S_{A'B'D'}}= \frac{1}{2}A'B'.A'D'\sin {60^0} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}$
Diện tích hình thoi $A’B’C’D’$ : ${S_{A'B'C'D'}} = 2{S_{A'B'D'}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}$
Vậy thể tích khối hộp đã cho là:

$V = B.h$ $= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}$

SGK Toán 12 Nâng cao