Đề bài
Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số \(k\) biến tứ diện \(ABCD\) thành tứ diện \(A’B’C’D’\)a thì \({{{V_{A'B'C'D'}}} \over {{V_{ABCD}}}} = {\left| k \right|^3}\)
Lời giải chi tiết
Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD).
Giả sử phép vị tự tỉ số k biến A, B, C, D, H lần lượt thành A’, B’, C’, D’, H’.
Hơn nữa, theo tính chất của phép vị tự thì:
A’H’ song song hoặc trùng với AH;
Và (B’C’D’) song song hoặc trùng với (BCD)
Mà AH ⊥ (BCD) nên A'H'⊥(B'C'D').
Vậy A’H’ là đường cao của tứ diện (A’B’C’D’) (1)
Mặt khác, dễ thấy: \(\widehat {CBD} = \widehat {C'B'D'} = \varphi \) (2)
Hơn nữa, cũng từ tính chất của phép vị tự ta có:
\(\frac{{A'H'}}{{AH}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} = \left| k \right|\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{\frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{{S_{B'C'D'}}.A'H'}}{{{S_{BCD}}.AH}}\\ = \frac{{\frac{1}{2}B'C'.B'D'\sin \varphi }}{{\frac{1}{2}BC.BD\sin \varphi }}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = \frac{{B'C'}}{{BC}}.\frac{{B'D'}}{{BD}}.\frac{{A'H'}}{{AH}}\\ = {\left| k \right|^3}\end{array}\)
