Cho hàm số: y=(x+1)(x2+2mx+m+2)
LG a
Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:
(x+1)(x2+2mx+m+2)=0 ⇔[x=−1x2+2mx+m+2=0(1)
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:
{Δ′>0f(−1)≠0⇔{m2−m−2>0(−1)2+2m.(−1)+m+2≠0
⇔{[m>2m<−1−m+3≠0 ⇔{[m>2m<−1m≠3⇔[m<−12<m<3m>3
Vậy m<−1 hoặc 2<m<3 hoặc m>3.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=−1
Lời giải chi tiết:
Với m=−1 ta có y=(x+1)(x2−2x+1) =x3−x2−x+1
TXĐ: D=R
lim
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) và \left( {1; + \infty } \right)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \left( { - \frac{1}{3};1} \right)
Hàm số đạt cực đại tại x = - \frac{1}{3} và {y_{CD}} = y\left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{{32}}{{27}}
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và {y_{CT}} = y\left( { 1} \right) = 0
y'' = 6x - 2
y'' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3};\,y\left( {{1 \over 3}} \right) = {{16} \over {27}}
Xét dấu y”
Điểm uốn I\left( {{1 \over 3};{{16} \over {27}}} \right)
Điểm đồ thị đi qua:
x = 0 \Rightarrow y = 1
x = 2 \Rightarrow y = 3
x = -1 \Rightarrow y = 0
Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.
