Đề bài
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết SA=SB=SC=a, ^ASB=600,^BSC=900,^CSA=1200
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.
- Từ đó suy ra SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)
- Sử dụng tính chất: "Mọi điểm nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì cách đều ba điểm A, B, C" để dựng tâm mặt cầu.
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SAB,SAC ta có:
AB2=SA2+SB2−2SA.SB.cos600=a2+a2−2a2.12=a2⇒AB=aAC2=SA2+SC2−2SA.SC.cos1200=a2+a2−2a2(−12)=3a2⇒AC=a√3
Trong tam giác vuông SBC có: BC2=SB2+SC2=2a2 ⇒BC=a√2
Ta có: AC2=AB2+BC2⇒ΔABC vuông tại B.
Gọi H là trung điểm của AC thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì SA=SB=SC nên SH⊥mp(ABC)
Và SH2=SC2−HC2 =a2−(a√32)2 =a24⇒SH=a2
Gọi O là điểm đối xứng của S qua H.
Khi đó OS=2SH=2.a2=a.
Tam giác OAH vuông tại H nên theo Pitago ta có
OA=√AH2+OH2 =√(a√32)2+(a2)2=a
Lại có SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và O∈SH nên OA=OB=OC=a.
Vậy OS=OA=OB=OC=a hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R=a.
Cách khác:
Ta có: HA=HB=HC, SA=SB=SC nên SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
⇒ tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC nằm trên SH.
Gọi M là trung điểm của SA.
Trong (SAC), kẻ đường thẳng d đi qua M và vuông góc SA cắt SH tại O
(d là đường trung trực của SA )
Khi đó:
O∈SH⇒OA=OB=OC
O∈d⇒OS=OA
⇒ OS=OA=OB=OC hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Xét ΔSMO và ΔSHA có:
ˆS chung
^SMO=^SHA=900
⇒ΔSMO∼ΔSHA(g−g)⇒SMSH=SOSA⇒SM.SA=SH.SO⇒12SA.SA=SH.SO⇒12a2=a2.SO⇒SO=a
Vậy bán kính R=a.
